Question

3．如图，抛物线l：y=2x²-2x，将该抛物线向左并向上平移，使顶点Q的对应点是Q′，抛物线l与x轴的右交点P的对应点是P′，点P′、Q′都在坐标轴上，则在这个平移的过程中，抛物线l上曲线段PQ扫过的面积（即图中阴影部分的面积）为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 先利用配方法得到Q（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），再求出P（$\frac{1}{2}$，0），于是可判断Q点向上平移$\frac{1}{2}$个单位得到点Q′，P点向左平移1个单位得到点P′，则可求出P′点和Q′点的坐标，连结P′Q′和PQ，如图，然后根据图中阴影部分的面积=S_{平行四边形PQQ′P}进行计算．

解答 解：∵y=2x²-2x=2（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，
∴Q（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
当2x²-2x=0时，解得x₁=0，x₂=1，则P（1，0），
∵Q点向上平移$\frac{1}{2}$个单位得到点Q′，P点向左平移1个单位得到点P′，
∴抛物线l：y=2x²-2x先向上平移$\frac{1}{2}$个单位，再向左平移1个单位得到新抛物线，
∴P′（0，$\frac{1}{2}$），Q′（-$\frac{1}{2}$，0），
连结P′Q′和PQ，如图，
∴图中阴影部分的面积=S_{平行四边形PQQ′P}=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$．
故答案为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．