Question

已知两点O（0，0）、B（0，2），⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3：1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动．
（1）求⊙A的半径；
（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；
（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC=CE，求点E的坐标；
（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PFC的面积关于m的函数解析式．

Answer 1

解：（1）
由弧长之比为3：1，
可得∠BAO=90°，
再由AB=AO=r，且OB=2，
得r=；

（2）⊙A的切线l过原点，可设l为y=kx，
任取l上一点（b，kb），由l与y轴夹角为45°，
可得：b=-kb或b=kb，得k=-1或k=1，
∴直线l的解析式为y=-x或y=x
又由r=，易得C（2，0）或C（-2，0）
由此可设抛物线解析式为y=ax（x-2）或y=ax（x+2）
再把顶点坐标代入l的解析式中得a=1
∴抛物线为y=x²-2x或y=x²+2x；

（3）当l的解析式为y=-x时，由P在l上，
可设P（m，-m）（m＞0）
过P作PP′⊥x轴于P′，
∴OP′=|m|，PP′=|-m|，
∴OP==2m²，
又由切割线定理可得：OP²=PC•PE，且PC=CE，
得PC=C′E=m=PP′
∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，
∴m=-2，E（2，2）
同理，当l的解析式为y=x时，m=-2，E（-2，2）；

（4）若C（2，0），此时l为y=-x，
∵P与点O、点C不重合，
∴m≠0且m≠2，
当m＜0时，FC=2（2-m），高为|y_p|即为-m，
∴S==m²-2m．
同理当0＜m＜2时，S=-m²+2m；当m＞2时，S=m²-2m；
∴S=.，
又若C（-2，0），
此时l为y=x，同理可得；S=.．
分析：（1）根据，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3：1，可知弦OB所对的圆心角的度数为90°，即三角形OAB为等腰直角三角形，根据斜边OB长为2，因此圆A的半径应该是；
（2）本题要分两种情况进行求解：
圆A的圆心在第一象限时，那么C点的坐标应是（2，0），
圆A的圆心在第二象限时，C点的坐标应该是（-2，0），
因此可设抛物线的解析式为y=ax（x-2）或y=ax（x+2）．已知顶点坐标在直线l上，由于l与圆相切，在（1）已经得出∠BOA=45°，因此直线l与y轴的夹角为45°，那么直线l的解析式为y=x或y=-x．根据抛物线的对称性和O，C的坐标可知，抛物线的对称轴为x=1或x=-1，将横坐标代入直线l中即可求出顶点坐标，然后将其代入抛物线的解析式中即可得出所求的结果；
（3）本题可根据切割线定理求解，先根据直线l的解析式设出P点的坐标，如（m，-m）（m＞0）那么OP=m，根据切割线定理有OP²=PC•PE=2PC²=2m²，因此PC=m，由此可得出PC与P的纵坐标的绝对值相同，即PC⊥x轴，因此m=OC=2．即可得出P点的坐标；（另外一种情况，即当直线l的解析式为y=x时，解法同上）
（4）已知了P点的横坐标为m，即抛物线的对称轴为x=m，可据此求出FC的长，然后将m代入抛物线的解析式中求出P点的纵坐标，即可得出三角形的高，然后根据三角形的面积计算公式即可求得S，m的函数关系式．（本题要注意的线段的长不能为负数，因此要根据m的不同的取值范围进行分类讨论）
点评：本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质、二次函数解析式的确定，图形面积的求法等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．