Question

填空：
（1）在圆周上有7个点A，B，C，D，E，F和G，连接每两个点的线段共可作出______条．
（2）已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形______个．
（3）三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为4，但它不是最短边，这样不同的三角形共有______个．
（4）以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是______．
（5）平面上10条直线最多能把平面分成______个部分．
（6）平面上10个圆最多能把平面分成______个区域．

Answer 1

解：（1）由分析知：在圆周上有7个点A，B，C，D，E，F和G，连接每两个点的线段共可作出21条；

（2）已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形7个；

（3）三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为4，但它不是最短边，这样不同的三角形共有5个；

（4）通过分析每两个顶点边线为边的三角形各种可能的角的大小进行，以正七边形的边为三角形一边的所有三角形均为钝角三角形，满足条件的三角形的三顶点两两之间至少有正七边的一个顶点隔开，这样的三角形以正七边形各顶点来看，每个顶点都存在两个满足条件的三角形，一共是14个；

（5）1条直线分平面为2个部分，
再加1条，将2这两部分又都隔开，于是又多2个部分．
再画第3条，要想将平面分成最多块，那么这条直线需与两条直线都相交，且与之前的交点不重复，这样就会多出3个部分．
依此类推，每画第N条直线，要想将平面分成最多块，就会比之前多出N个部分．
于是10条直线能将平面分成2+2+3+4+…+10=56个部分；
（6）1个圆：2
2个圆：2+2
3个圆：2+2+4
4个圆：2+2+4+6
…
10个圆2+2+4+…+（10×2-2）=92
原因：增加一个圆，这个圆（最多）可与前面各个圆相交，且只能有两个交点
（以1个圆考虑，与另一圆相交，增加两个交点，便多分出2个部分）
n个圆也适用，第n个与前n-1个交，n-1个每个都会多两个交点，即多分出2个部分增加n×2-2个．
分析：我们可以对每道题进行分析，找出其中的规律，从而得到所求的结果．比如（4）通过分析每两个顶点边线为边的三角形各种可能的角的大小进行，以正七边形的边为三角形一边的所有三角形均为钝角三角形，满足条件的三角形的三顶点两两之间至少有正七边的一个顶点隔开，这样的三角形以正七边形各顶点来看，每个顶点都存在两个满足条件的三角形，一共是14个．
点评：本题主要考查认识平面图形，关键是找到蕴含的规律．