【题目】矩形,,,,(),以为旋转中心顺时针旋转矩形,得到矩形.
(1)如图1,当点落在边上时,求的长;
(2)如图2,当时,矩形的对角线交矩形的边于点,连结,若是等腰三角形,求直线的解析式.
(3)如图3,当时,矩形的对称中心为点.的面积为,求的取值范围.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)如图1,当点D落在边BC上时,BD2=AD2AB2,即可求解;
(2)分CG=EG、CE=GE、CE=CG三种情况分别求解;
(3)根据MN≤MA+AD,当射线DA经过点M时,MN=MA+AD=,的最大值是,当边AD经过点M,即P与M重合时,MN=PD,MN=PD=ADAP=4=,的最小值是,故可求解.
解:(1) 如图1,在矩形ABCO中,∠B =90°
当点D落在边BC上时,BD2=AD2-AB2
∵C(0,3),A(,0)
∴AB=OC=3,AD=AO=
∴
(2) 如图2, 连结AC,
∵=3
∴OA=OC=3
∴矩形ABCO是正方形
∴∠BCA =45°
设∠ECG的度数为,
∴AE=AC
∴∠AEC =∠ACE=
①当CG=EG时,=
解得,不合题意,舍去
②当CE=GE时,∠ECG =∠EGC=
∵∠ECG+∠EGC+∠CEG=
∴,
解得
∴∠AEC =∠ACE=,不合题意,舍去
③当CE=CG时,∠CEG =∠CGE=
∵∠ECG+∠EGC+∠CEG=
∴,
解得
∴∠AEC =∠ACE=75°,∠CAE=30°
如图3,连结OB,交AC于点Q,过E作EH⊥AC于H,连结BE
∴EH=AE=AC,BQ=AC
∴EH=BQ ,EH∥BQ且∠EHQ=90°
∴四边形EHQB是矩形
∴BE∥AC
设直线BE的解析式为
∵点B(3,3)在直线上
∴6
∴直线BE的解析式为;
(3)如图4,∵=4,点M是矩形ABCO的对称中心
∴AO=4,AM=
以A为圆心,分别以AO、AM为半径作圆,AD交小圆于P,
过M作MN⊥ED于N
∴DE切大圆于D
∴MN≥PD
根据“垂线段最短”,MN≤MA+AD,
如图5,当射线
∴的最大值是
如图6,当边AD经过点M,即P与M重合时,MN=PD,
∴的最小值是
综上,的取值范围是.
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【题目】八年级(1)班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况,在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查,统计同学们一个月阅读课外书的数量,并绘制了以下统计图.
请根据图中信息解决下列问题:
(1)共有多少名同学参与问卷调查;
(2)补全条形统计图和扇形统计图;
(3)全校共有学生1500人,请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少.
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【题目】如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连接CF.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)若∠BAC=90°,求证:四边形ADCF是菱形.
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【题目】在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y.
(1)CD= ,AD= ;
(2)若EF⊥AB,当点E在线段AB上移动时;
①求y与x的函数关系式;(写出自变量x的取值范围)
②当x取何值时,y有最大值?并求其最大值
(3)若F在直角边AC上(点F与A、C两点均不重合),点E在斜边AB上移动,试问:是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;若不存在直线EF,请说明理由.
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【题目】将一个正方形纸片AOBC放置在平面直角坐标系中,点A(0,4),点O(0,0),B(4,0),C(4,4)点.动点E在边AO上,点F在边BC上,沿EF折叠该纸片,使点O的对应点M始终落在边AC上(点M不与A,C重合),点B落在点N处,MN与BC交于点P.
(Ⅰ)如图①,当∠AEM=30°时,求点E的坐标;
(Ⅱ)如图②,当点M落在AC的中点时,求点E的坐标;
(Ⅲ)随着点M在AC边上位置的变化,△MPC的周长是否发生变化?如变化,简述理由;如不变,直接写出其值.
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【题目】已知,如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB,
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值;
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上.是否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】女本柔弱,为母则刚.说的是母亲对子女无私的爱,母爱伟大.值此母亲节来临之际,某花店推出一款康乃馨花束,经过近几年的市场调研发现,该花束在母亲节的销售量(束)与销售单价(元)之间满足如图所示的一次函数关系,已知该花束的成本是每束元.
求出关于的函数关系式(不要求写的取值范围);
设该花束在母亲节盈利为元,写出关于的函数关系式;并求出当售价定为多少元时,利润最大;
花店开拓新的进货渠道,以降低成本,预计在今后的销售中,母亲节期间该花束的销售量与销售单价仍存在中的关系若想实现销售单价为元,且销售利润不低于元的销售目标,该花束每束的成本应不超过多少元,
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【题目】为了测量重庆有名的观景点南山大金鹰的大致高度,小南同学使用的无人机进行观察,当无人机与大金鹰侧面在同一平面,且距离水平面垂直高度GF为100米时,小南调整摄像头方向,当俯角为45°时,恰好可以拍摄到金鹰的头顶A点;当俯角为63°时,恰好可以拍摄到金鹰底座点E.已知大金鹰是雄踞在一人造石台上,石台侧面CE长12.5米,坡度为1:0.75,石台上方BC长10米,头部A点位于BC中点正上方.则金鹰自身高度约( )米.(结果保留一位小数,sin63°≈0.89,cos63°≈0.45,tan63°≈1.96)
A.B.C.D.
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