Question

11．如图，在以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，AB=2CD，弦AB的弦心距OP=$\frac{1}{2}$CD，小圆和大圆半径分别为r、R，则$\frac{r}{R}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 首先过点O作OP⊥AB，则由垂径定理可得CP=DP=$\frac{1}{2}CD$，$AP=BP=\frac{1}{2}AB$，设CD=x，则OP=$\frac{1}{2}x$，CP=DP=$\frac{1}{2}x$，AB=2x，AP=BP=x，利用勾股定理可得OC，OA，可得结果．

解答 解：过点O作OP⊥AB，则CP=DP=$\frac{1}{2}CD$，$AP=BP=\frac{1}{2}AB$，OA=R，OC=r，
设CD=x，则OP=$\frac{1}{2}x$，CP=DP=$\frac{1}{2}x$，AB=2x，AP=BP=x，
由勾股定理得，OC=r=$\sqrt{{（\frac{1}{2}x）}^{2}{+（\frac{1}{2}x）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}x$，
OA=R=$\sqrt{{OP}^{2}{+AP}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{1}{2}x）}^{2}+{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}x$，
∴$\frac{r}{R}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{\frac{\sqrt{5}}{2}x}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查了垂径定理及勾股定理，作出恰当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．