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如图,AB是⊙O1与⊙O2的公共弦,O1在⊙O2上,BD,O1C分别是⊙O1与⊙O2的直径,CA与BD精英家教网的延长线交于E点,AB与O1C相交于M点.
(1)求证:EA是⊙O1的切线;
(2)连接AD,求证:AD∥O1C;
(3)若DE=1,设⊙O1与⊙O2的半径分别为r,R,且
r
R
=
1
2
,求r的长.
分析:(1)连接O1A,根据圆周角的性质,易得O1A⊥AE;故AE是⊙O1的切线.
(2)根据圆周角定理,可得∠O1BA=∠O1CA;在⊙O1中,根据弦切角定理易得∠DAE=∠O1BA;变化可得AD∥O1C;
(3)根据题意有R=2r;在Rt△AO1C中根据切割线定理可得O1M=
1
4
r;再根据平行线的性质;易得
1
2
r=
4r
1+r
,代入数据即可得到答案.
解答:精英家教网(1)证明:连接O1A,(1分)
∵O1C是⊙O2的直径,
∴∠O1AC=90°,(2分)
∴O1A⊥AE.
又∵点A在⊙O1上,
∴AE是⊙O1的切线.(3分)

(2)证明:在⊙O2中,∠O1BA与∠O1CA都是
O1A
上的圆周角,
∴∠O1BA=∠O1CA.(4分)
在⊙O1中,由弦切角定理,得∠DAE=∠O1BA,(5分)
∴∠O1CA=∠DAE.(6分)
∴AD∥O1C.(7分)

(3)解:∵
r
R
=
1
2
,R=2r,
在Rt△AO1C中,O1A2=O1M•O1C,r2=O1M•2R=O1M•4r,
即O1M=
1
4
r.(8分)
∵在Rt△BAD中,O1M∥AD,
O1M
AD
=
BO1
BD

1
4
r
AD
=
r
2r
AD=
1
2
r
.①
∵在△EO1C中,AD∥O1C,
ED
EO1
=
AD
O1C
1
1+r
=
AD
4r

AD=
4r
1+r
;②(9分)
由①和②得
1
2
r=
4r
1+r
,解之,得r=7.(10分)

(3)解法二:∵∠DBA=∠O1CA,∠DAB=∠O1AC=90°,
∴△DBA∽△O1CA.
又∵
r
R
=
1
2

DA
O1A
=
BD
O1C
=
2r
2R
=
1
2
.(8分)
设DA=x,
∴O1D=O1A=2x,O1C=8x.
∵DA∥O1C,ED=1,EO1=1+2x,
ED
EO1
=
DA
O1C
1
1+2x
=
x
8x
,(9分)
解之,得x=
7
2

∴r=2x=7.(10分)
点评:本题考查常见的几何题型,包括切线的判定、线线平行的证明及线段长度的求法,要求学生掌握常见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题.
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(1)连接DM、CE,请在图中(不添加别的“点”和“线”)找出与△DFM相似的所有三角形,并选择其中一个三角形,证明它与△DFM相似;
(2)设CD=12,CB=5,DF=4,AF=3FM,求EF的长.

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