Question

10．已知，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A，B两点，且OB=2OA，线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC．

①如图1，当OA=3时，求点C的坐标；
②如图2，若点A和点D关于y轴对称，直线CD交y轴于点E，连接AE，求∠DAE的度数；
③在②的条件下，当△AOE的面积为$\frac{9}{2}$，点P从点B出发，沿y轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒，△PAC的面积为S（S≠0）．求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 ①由OA的长确定出OB的长，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及AB=BC，利用AAS确定出三角形CBF与三角形BAO全等，利用全等三角形对应边相等得到CF=OB，BF=OA，进而确定出CF与OF的长，确定出C的坐标即可；
②设A（a，0），则B（0，2a），根据A、D关于y轴对称，表示出D坐标，进而表示出C的坐标，设直线CD解析式为y=kx+b，把C与D代入求出k与b的值，表示出直线CD解析式，表示出E坐标，得到OE=OA，确定出三角形ADE为等腰直角三角形，即可得出∠DAE的度数；
③根据三角形AOE面积求出a的值，确定出A与C的坐标，设直线AC解析式为y=mx+n，把A与C坐标代入求出m与n的值，求出G坐标，分两种情况考虑：当0＜t≤2.5时，PG=BG-BP=5-2t，表示出△PAC面积S与t的关系式；当t＞2.5时，PG=2t-5，表示出此时△PAC面积S与t的关系式即可．

解答 解：①作CF⊥OB，如图1所示，

∵∠CBF+∠ABF=90°，∠BAO+∠ABF=90°，
∴∠CBF=∠BAO，
在△CBF和△BAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFC=∠AOB=90°}\\{∠CBF=∠BAO}\\{CB=BA}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△BAO（AAS），
∴CF=OB，BF=OA，
∵OA=3，
∴OB=2OA=6，
∴CF=OB=6，BF=OA=3，
∴OF=OB-BF=3，
∴C（-6，3）；
②设A（a，0），则B（0，2a），
∵A、D关于y轴对称，
∴D（-a，0），
由（1）得：C（-2a，a），
设CD解析式为：y=kx+b，
把D与C坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-ak+b=0}\\{-2ak+b=a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-a}\end{array}\right.$，即CD解析式为y=-x-a，
∴E（0，-a），A（a，0），即OA=OE，
∴∠DAE=45°；
③∵S_△AOE=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$OA•OE=$\frac{1}{2}$a²=$\frac{9}{2}$，
解得：a=3（负值舍去），
∴A（3，0），C（-6，3），
设直线AC解析式为y=mx+n，
把A与C坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{-6m+n=3}\end{array}\right.$，
解得：m=-$\frac{1}{3}$，n=1，
∴直线AC解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，即G（0，1），

当0＜t≤2.5时，PG=BG-BP=5-2t，此时△PAC面积S=$\frac{1}{2}$（5-2t）×9=$\frac{9}{2}$（5-2t）；
当t＞2.5时，PG=2t-5，此时△PAC面积S=$\frac{1}{2}$（2t-5）×9=$\frac{9}{2}$（2t-5）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，对称的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．