Question

已知关于x的方程x²+（k-5）x+9=0在1＜x＜2内有一实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：关于x的方程x²+（k-5）x+9=0在1＜x＜2内有一实数根，即y=x²+（k-5）x+9与x轴在1＜x＜2内有一交点．可根据函数的性质列不等式组解答．

解答：解：关于x的方程x²+（k-5）x+9=0在1＜x＜2内有一实数根，
即y=x²+（k-5）x+9与x轴在1＜x＜2内有一交点，故有以下三种情况：
（1）

△=(k-5)2-4×9=0① f(1)=1+(k-5)+9＞0② f(2)=4+2(k-5)+9＞0③

，
由①得，k²-10k-11=0，
解得k₁=-1，k₂=11；
由②得，k＞-5；
由③得，k＞-

3

2

；
故实数k的取值范围为k₁=-1，k₂=11；
（2）

△=(k-5)2-4×9＞0① f(1)=1+(k-5)+9＞0② f(2)=4+2(k-5)+9＜0③

，
由①得，k²-10k-11＞0，即（k+1）（k-2）＞0，
解得

k＞-1 k＞2

；或

k＜-1 k＜2

．
由②得，k＞-5；
由③得，k＜-

3

2

；
故实数k的取值范围为-5＜k＜-

3

2

；
（3）

△=(k-5)2-4×9＞0① f(1)=1+(k-5)+9＜0② f(2)=4+2(k-5)+9＞0③

，
由①得，k²-10k-11＞0，即（k+1）（k-2）＞0，
解得

k＞-1 k＞2

；或

k＜-1 k＜2

．
由②得，k＜-5；
由③得，k＞-

3

2

；
由②③可知，不等式组无解．

点评：此题考查了二次函数与x轴的交点与根的判别式的关系，利用根的判别式、交点所对应的函数值列出不等式组是解题的关键，解答时要进行分类讨论．