Question

等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等边三角形面积的方法：如图（1），在△ABC中，AB=AC，把底边BC分成m等份，连接顶点A和底边BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分．
问题的提出：任意给定一个正n边形，你能把它的面积m等分吗？
探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手：怎样从正三角形的中一心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？
如果要把正三角形的面积四等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图（2），这些线段将这个正三角形分成了三个全等的等腰三角形）；再把所得的每个等腰三角形的底边四等分，连接中心和各边等分点（如图（3），这些线段把这个正三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起（如图（4））．这样就把正三角形的面积四等分．

（1）实验与验证：依照上述方法，利用刻度尺，在图（5）中画出一种将正三角形的面积五等分的简单示意图；
（2）猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？叙述你的分法并说明理由；
（3）拓展与延伸：怎样从正方形的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分？（叙述方法即可，不需说明理由）
（4）向题解决：怎样从正n边形的中心引线段，才能将这个正n边形的面积m等分？（叙述分法即可，不需说明理由）．

Answer 1

分析：（1）把底边BC分成5等份，连接顶点A和底边BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积5等分；
（2）先连接正三角形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边m等分，连接中心和各边等分点，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起，即把正三角形的面积m等分；
（3）先连接正方形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边m等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的四个小三角形拼合在一起，即可把正方形的面积m等分；
（4）先连接正n边形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边m等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的n个小三角形拼合在一起，即可把正n边形的面积m等分．

解答：解：（1）如图所示：

（2）先连接正三角形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边m等分，连接中心和各边等分点，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起，即把正三角形的面积m等分．
理由：正三角形被中心和各顶点的连线分成三个全等的等腰三角形，所以这三个等腰三角形的底和高都相等，这个等腰三角形的底边被m等分，所得的每个小三角形的底和高都相等，则其面积相等，因此，依次把相邻的三个小三角形拼合在一起合成的图形的面积也相等，即可把此三角形的面积m等分；

（3）先连接正方形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边m等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的四个小三角形拼合在一起，即可把正方形的面积m等分；

（4）先连接正n边形的中心和各顶点，再把所得的每个等腰三角形的底边m等分，连接中心和各等分点，依次把相邻的n个小三角形拼合在一起，即可把正n边形的面积m等分．

点评：本题考查的是正多边形和圆，根据图中所给出的等分正三角形的方法得出结论是解答此题的关键．