Question

如图，在边长为8的菱形ABCD中，若∠ABC=60°，
（1）如图1，E是AB中点，P在DB上运动，求：PA+PE的最小值．
（2）如图2，DM交AC于点N．若AM=6，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．

Answer 1

分析：（1）首先连接AC，CE，分别交BD于点O，Q，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，OD=OA，则可得QC+QE=CE≤PA+PE，继而求得CE的长；
（2）首先过点M作MF⊥AD于点F，∠BAF=∠ABC=60°，则可求得点M到AD的距离，易证得△ABN≌△ADN，则可求得tanα的值．

解答：（1）如图1，连接AC，CE，分别交BD于点O，Q，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD=OA，
∴QC+QE=CE≤PA+PE，
又∵∠ABC=60°，AB=CB=8，
∴AB=AC=CB=8，
∴CE=4

3

∴PA+PE的最小值为：4

3

．

（2）如图2，过点M作MF⊥AD于点F，∠BAF=∠ABC=60°，
∵AM=6，
∴MF=AMsin60°=3

3

，AF=3，
即点M到AD的距离为3

3

，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，
在△ABN和△ADN中，

AB=AD ∠BAN=∠DAN AN=AN

，
∴△ABN≌△ADN（SAS），
∴∠ADN=∠ABN=tanα=

MF

DF

=

3 3

11

．

点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．