Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，E为AC延长线上一点，ED⊥AB于F．
（1）判断△DCE的形状；
（2）设⊙O的半径为1，且OF=

3 -1

2

，求证：△DCE≌△OCB．

Answer 1

分析：（1）易得△AOC是正三角形，故有∠E=30°，由∠OCD=90°和平角的概念可得∠DCE=30°=∠E，所以DE=CD；进而可知此三角形为等腰三角形．
（2）由勾股定理求得BC=

3

，然后由直角三角形的性质，求得CE=

3

，即可证得△DCE≌△OCB．

解答：（1）解：∵∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°．
又∵OA=OC，
∴△AOC是正三角形．
又∵CD是切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．
而ED⊥AB于F，
∴∠CED=90°-∠BAC=30°．
故△CDE为等腰三角形．

（2）证明：∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠BAC=60°，AO=CO，
∴∠OCA=60°，∵∠DCE=30°．
∴A，C，E三点同线
在△ABC中，
∵AB=2，AC=AO=1，
∴BC=

22-12

=

3

．
∵OF=

3 -1

2

，
∴AF=AO+OF=

3 +1

2

．
又∵∠AEF=30°，
∴AE=2AF=

3

+1，
∴CE=AE-AC=

3

=BC，
而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC；
故△CDE≌△COB．

点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，直角三角形的性质求解．