Question

【题目】抛物线y＝﹣x2+ax+b交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线在第一象限上的一点，过点P作AC的平行线l，分别交直线BC，y轴于点D，点E．

（1）填空：直线AC的解析式为　 　，抛物线的解析式为　 　；

（2）当CD＝时，求OE的长；

（3）当DP＝DE时，求点P的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x+4，抛物线的解析式为；（2）OE的长为1；（3）点P的横坐标1

【解析】

（1）先用待定系数法求出抛物线解析式，然后求出点、C坐标，再求直线AC的解析式即可；

（2）作BF//y轴，交DE于F．求出直线DE的解析式，表示出CE、BF的长，利用△CDE∽△BDF，列式求解即可；

（3）作PG//y轴，交BC于G．由△CED≌△GPD，可得PG=CE．求出直线BC的解析式，根据PG=CE列方程求解即可．

（1）把A(﹣2，0)，B(4，0)代入y＝﹣x2+ax+b得，

，

解得

，

∴．

当x=0时，y=4，

∴C(0，4)，

设直线AC的解析式为y=mx+n，

，

，

∴y＝2x+4；

（2）如图，作BF//y轴，交DE于F．

∵B(4，0)，C(0，4)，

∴BC=4，

∵CD=，

∴BD=3．

设DE的解析式为y=2x+b，则E(0，b)，CE=4-b，

当x=4时，y=8+b，则BF=8+b，

∵BF//y轴，

∴△CDE∽△BDF，

∴，

∴，

解得

b=1，

∴OE=1；

（3）如图，作PG//y轴，交BC于G．

∵PG//y轴，

∴∠CED=∠GPD， ∠ECD=∠PGD，

∵DP＝DE，

∴△CED≌△GPD，

∴PG=CE．

设直线BC的解析式为y=ax+c，

∵B(4，0)，C(0，4)，

∴，

解得

，

∴y=-x+4．

设P(m， )，G(m， )，

把P(m， )代入y=2x+b得

2m+b=，

∴b=，

∴4-()=-()，

m2-m=0，

解得

m1=0（舍去），m2=1，

∴点P的横坐标1．