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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P、Q分别是边AB、BC上的动点，且点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合．
    （1）在以下五个结论中：①∠CQP=45°；②PQ=AC；③以A、P、C为顶点的三角形全等于△PQB；④以A、P、C为顶点的三角形全等于△CPQ；⑤以A、P、C为顶点的三角形相似于△CPQ．一定不成立的是
     
    ．（只需将结论的代号填入题中的模线上）．
    （2）设AC=BC=1，当CQ的长取不同的值时，△CPQ是否可能为直角三角形？若可能，请说明所有的精英家教网情况；若不可能，请说明理由．
    分析：（1）由题意可知一定不成立的有：①，④．
    （2）过Q作QP⊥BC，交AB于P点，连接CP，则△CPQ为直角三角形，作∠CAB的平分线AO，交BC于O点．作OP1⊥AB于P1点．设CO=t，则OP1=5，CD=2t，OB=1-t．先根据相似三角形△ABC∽△OBP1的性质求得t值，即得到线段CD的长度，再分情况讨论．①Q与点D重合时，以CQ为直径的圆与AB相切，②Q点在线段CD上时（不与C、D重合），0＜CQ＜2
    		2
    -2，以CQ为直径的圆与AB相离，③Q点在DB上时（不与D、B重合），2
    		2
    -2＜CQ＜1，以CQ为直径的圆与AB有两个交点P2、P3．
    解答：精英家教网解：（1）①，④（4分）

    （2）可能．
    例如：过Q作QP⊥BC，交AB于P点，连接CP，则△CPQ为直角三角形，作∠CAB的平分线AO，交BC于O点．作OP1⊥AB于P1点．（5分）
    ∴CO=OP1以O为圆心，OC为半径作⊙O，⊙O与AB相切，切点为P1，与CB的交点为D．
    设CO=t，则OP1=5，CD=2t，OB=1-t．
    由△ABC∽△OBP1，得
    OP1
    AC
    =
    OB
    AB
    ，
    ∴
    t
    1
    =
    1-t
    		2
    ，
    ∴t=
    		2
    -1，
    ∴CD=2
    		2
    -2（7分），
    ∴当Q与点D重合时，以CQ为直径的圆与AB相切，切点为P1，连CP1、P1Q，△CP1Q为直角三角形，此时共有两个直角三角形（8分）
    当Q点在线段CD上时（不与C、D重合），0＜CQ＜2
    		2
    -2，以CQ为直径的圆与AB相离，此时只有一个直角三角形CQP．（9分）
    当Q点在DB上时（不与D、B重合），2
    		2
    -2＜CQ＜1，以CQ为直径的圆与AB有两个交点P2、P3．分别连接P2、P3与点C和Q，得直角三角形CQP2和CQP3，此时有三个直角三角形．（10分）
    点评：此类题目是相似与圆的知识的综合运用，难点在第（2）题，解决的根据是三角形相似的性质和直线和圆的三种位置关系．
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    ．

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    如图所示，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，过D作DF⊥AC于F
    （1）求证：DF是⊙O的切线；
    （2）连接DE，且AB=4，若∠FDC=30°，试求△CDE的面积．

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    等腰或直角
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    如图，已知△ABC中，AB=AC，AB垂直平分线交AC于D，连接BE，若∠A=40°，则∠EBC=（　　）

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