Question

【题目】如图，已知直线y＝+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90o、点P(x、y)为线段BC上一个动点(点P不与B、C重合)，设△OPA的面积为S。

（1）求点C的坐标;

（2）求S关于x的函数解析式，并写出x的的取值范围;

（3）△OPA的面积能于吗，如果能，求出此时点P坐标，如果不能，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（4，3）；（2）S=， 0＜x＜4;（3）不存在.

【解析】

（1）直线y＝+1与x轴、y轴分别交于点A、B，可得点A、B的坐标，过点C作CH⊥x轴于点H，如图1，易证△AOB≌△CHA，从而得到AH=OB、CH=AO，就可得到点C的坐标；

（2）易求直线BC解析式，过P点作PG垂直x轴，由△OPA的面积=即可求出S关于x的函数解析式.

（3）当S=求出对应的x即可.

解：（1）∵直线y＝+1与x轴、y轴分别交于点A、B，

∴A点（3，0），B点为（0，1），

如图：过点C作CH⊥x轴于点H，

则∠AHC=90°．
∴∠AOB=∠BAC=∠AHC=90°，
∴∠OAB=180°-90°-∠HAC=90°-∠HAC=∠HCA．
在△AOB和△CHA中，

，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴AO=CH=3，OB=HA=1，
∴OH=OA+AH=4

∴点C的坐标为（4，3）；

（2）设直线BC解析式为y=kx+b，由B（0，1），C（4，3）得：

，解得，

∴直线BC解析式为，

过P点作PG垂直x轴，△OPA的面积=,

∵PG=，OA=3，

∴S==；

点P(x、y)为线段BC上一个动点(点P不与B、C重合)，

∴0＜x＜4.

∴S关于x的函数解析式为S=， x的的取值范围是0＜x＜4;

（3）当s=时，即，解得x=4，不合题意，故P点不存在.