Question

在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC=180°，对角线AC平分∠BAD．

（1）如图1，求证：BC=CD；
（2）如图2，若AB+AD=AC，求∠BCD的度数；
（3）如图3，当∠BAD=120°时，请判断AB、AD与AC之间的数量关系？并加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图（1）作辅助线，利用角平分线的性质及全等三角形的判定，证明△NDC≌△MBC，进而证明BC=CD；
（2）如图（2）作辅助线，利用全等三角形的判定及其性质、等边三角形的判定及其性质即可解决问题；
（3）如图（2）作辅助线，利用全等三角形的判定及其性质、直角三角形的性质等几何知识，借助分类讨论思想即可解决问题．

解答：解（1）如图1，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M；作CN⊥AD，垂足为N；
∵AC平分∠DAB，∴CM=CN；
又∵∠ABC+∠ADC=180°，∠MBC+∠ADC=180°；
∴∠NDC=∠MBC，
 在△NDC与△MBC中，∵

∠DNC=∠BMC ∠NDC=∠MBC CN=CM

；
∴BC=DC；

（2）如图2，延长AB到E，使BE=AD；
∵AB+AD=AC，∴AE=AC；
由（1）知∠ADC=∠EBC；在△ADC与△EBC中，
∵

DC=BC ∠ADC=∠ AD=BE

EBC，∴△ADC≌△EBC，故AC=EC；
又∵AE=AC，∴AE=AC=EC，
故△AEC为等边三角形，∠CAB=60°；
∴∠BAD=120°，∠BCD=360°-180°-120°=60°，
即∠BCD=60°．

（3）若AB=AD；在△ADC与△ABC中，
∵

AD=AB ∠DAC=∠BAC AC=AC

，∴△ADC≌△ABC，
∴∠ADC=∠ABC=

1

2

×180°=90°，
故∠DCA=90°-60°=30°，
∴AC=2AD；而AD+AB=2AD，
∴AC=AD+AB；
若AD＞AB；如图2，延长AB到E，使BE=AD；
由（2）可知△ADC≌△EBC，
∴∠E=∠DAC=60°；而∠CAB=60°，
∴△CAE是等边三角形，故AC=AE；
而AE=AB+BE=AB+AD，
∴AC=AD+AB；
综上所述，当∠BAD=120°时，AC=AD+AB．

点评：命题重点考查了全等三角形的判定及其性质；其中还渗透了对等边三角形的判定及其性质、直角三角形的性质等几何知识的考查；解题的关键是构造全等三角形，灵活运用全等三角形的判定及其性质来解题．