（2012•青岛模拟）同学们已经认识了很多正多边形，现以正六边形为例再介绍与正多边形相关的几个概念．如正六边形ABCDEF各边对称轴的交点O，又称正六边形的中心，其中OA称正六边形的半径，通常用R表示，∠AOB称为中心角，显然．提出问题：正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径R和中心角有什么关系？
探索发现：
（1）为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形--正三角形入手．
如图①，△ABC是正三角形，半径OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距离分别为h
1、h
2、h
3 ，确定h
1+h
2+h
3的值与△ABC的半径R及中心角的关系．
解：设△ABC的边长是a，面积为S，显然S=
a（h
1+h
2+h
3）
O为△ABC的中心，连接OA、OB、OC，它们将△ABC分成三个全等的等腰三角形，过点O作OM⊥AB，垂足为M，Rt△AOM中，易知
OM=OAcos∠AOM=Rcos
∠AOB=Rcos
×120°=Rcos60°，
AM=OAsin∠AOM=Rsin
∠AOB=Rsin
×120°=Rcos60°
∴AB=a=2AM=2Rsin60°
∴S
△AOB=
AB×OM=
×2Rsin60°•Rcos60°=R
2sin60°cos60°
∴S
△ABC=3S
△AOB=3R
2sin60°cos60°
∴
a（h
1+h
2+h
3）=3R
2sin60°cos60°
即：
×2Rsin60°（h
1+h
2+h
3）=3R
2sin60°cos60°
∴h
1+h
2+h
3=3Rcos60°
（2）如图②，五边形ABCDE是正五边形，半径是R，P是正五边形ABCDE内任意一点，P到五边形ABCDE各边距离分别为h
1、h
2、h
3、h
4、h
5，参照（1）的探索过程，确定h
1+h
2+h
3+h
4+h
5的值与正五边形ABCDE的半径R及中心角的关系．
（3）类比上述探索过程，直接填写结论
正六边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h
1+h
2+h
3+h
4+h
5+h
6=
6Rcos30°
6Rcos30°
正八边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h
1+h
2+h
3+h
4+h
5+h
6+h
7+h
8=
8Rcos22.5°
8Rcos22.5°
正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和 h
1+h
2+…+h
n=
．
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启东小题作业本系列答案
同学们已经认识了很多正多边形，现以正六边形为例再介绍与正多边形相关的几个概念．如正六边形ABCDEF各边对称轴的交点O，又称正六边形的中心，其中OA称正六边形的半径，通常用R表示，∠AOB称为中心角，显然．提出问题：正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径R和中心角有什么关系？
a（h1+h2+h3）
a（h1+h2+h3）
∠AOB=Rcos
×120°=Rcos60°，
∠AOB=Rsin
×120°=Rcos60°
AB×OM=
×2Rsin60°•Rcos60°=R2sin60°cos60°
a（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°
×2Rsin60°（h1+h2+h3）=3R2sin60°cos60°
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