Question

如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，AP是⊙O的切线，P为切点，弦PD⊥BE于C，连接OD，
（1）求证：∠APC=∠AOD；
（2）若OC：CB=1：2且AB=6，求⊙O的半径及∠APB的正切值．

Answer 1

分析：（1）连接OP．可结合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性质进行证明；
（2）根据OC、BC的比例关系，可用未知数表示出OC、BC的表达式，进而可得OP、OB的表达式；在Rt△AOP中，PC⊥OA，根据射影定理得：PC²=PC•AC，PC²的表达式可在Rt△OPC中由勾股定理求得，由此求得未知数的知，从而确定PC、CE的长，也就能求出⊙O的半径和∠APB的正切值．

解答：解：（1）证明：连接OP．
∵OP=OD，∴∠OPD=∠D；
∵PD⊥BE，
∴∠OCD=90°；
在Rt△OCD中，∠D+∠AOD=90°，
又∵AP是⊙O的切线，
∴AP⊥OP，
则∠OPD+∠APC=90°，
∴∠APC=∠AOD；

（2）连接PE．
∴∠BPE=90°（直径所对的圆周角是直角）；
∵AP是⊙O的切线，
∴∠APB=∠OPE=∠PEA；
∵OC：CB=1：2，
∴设OC=x，则BC=2x，OP=OB=3x；
在Rt△OPC中，OP=3x，OC=x，由勾股定理得：
PC²=OP²-OC²=8x²；
在Rt△OPC中，PC⊥OA，由射影定理得：
PC²=OC•AC，即8x²=x（2x+6），6x²=6x，
解得x=0（舍去），x=1；
∴OP=OB=3，PC=2

2

，CE=OC+OE=3+1=4，
∴tan∠APB=tan∠PEC=

PC

CE

=

2

2

∴⊙O的半径为3，∠APB的正切值是

2

2

．

点评：本题综合考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质以及锐角三角函数的定义．解答（2）中∠APB的正切值的关键是根据切线的性质、等腰三角形的性质及圆周角定理求得∠APB=∠OPE=∠PEA．