(1)证明:∵∠AOB=90°,PM⊥OA,
∴PM∥OB,
∴AM:AO=PM:BO=AP:AB,
∵OA=3cm,OB=4cm,
∴在Rt△OAB中,AB=
=
=5cm,
∵AP=1•t=t,
∴
,
∴PM=
t,OM=OA-AM=3-
t,
∴点P的坐标为(
t,3-
t);
(2)∵OQ=1•t=tcm,
∴S
△OPQ=
×t×(3-
t)=-
t
2+
t
=-
(t-
)
2+
,
∴当t=
时,S有最大值,最大值为
;
(3)作PN⊥OB于N,
∵△OPQ为直角三角形,
∴△PON∽△QPN,
∴
,
∴(3-
t)
2=
t(t-
t),
解得t
1=3,t
2=15(舍去);
(4)∵ON=
t,OQ=t,
∴0Q≠2ON,
∴无论t为何值时,△OPQ都不可能为正三角形;
要使△OPQ为正三角形,
则0Q=2ON=
t,
∴Q点的速度为
cm/s,
此时3-
t=
t•
,
解得t=
.
分析:(1)先证明PM∥OB,再根据相似三角形对应边成比例证明即可;利用勾股定理求出AB的长度,而AP=t,再根据对应边成比例求出AM、PM的值,P点坐标即可得到;
(2)根据三角形的面积公式,P点纵坐标与OQ的长度的积的一半就是△OPQ面积,整理后根据二次函数的最值问题求解即可;
(3)作OQ边上的高,根据△PON和△QPN相似,相似三角形对应边成比例,列式求解;
(4)根据正三角形的性质PN垂直平分边OQ,所以无论t为何值时,△OPQ都不可能为正三角形;改变Q点速度根据正三角形的性质,0Q=2ON,PN=
OQ分别列式求解即可得到Q点运动速度和时间t.
点评:本题综合性较强主要利用相似三角形对应边成比例的性质,等边三角形的高与底边的性质,只要肯于动脑也不难解决.