Question

已知：如图，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，动点P在⊙O₂上，且在⊙₁外，直线PA、PB分别交⊙O₁于C、D，问：⊙O₁的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD最长和最短时P的位置，如果不发生变化，请你给出证明．

Answer 1

解：当点P运动时，CD的长保持不变，A、B是⊙O₁与⊙O₂的交点，弦AB与点P的位置关系无关，
证明：如图，连接AD，
∵∠ADP在⊙O₁中所对的弦为AB，
∴∠ADP为定值，
∵∠P在⊙O₂中所对的弦为AB，
∴∠P为定值，
∵∠CAD=∠ADP+∠P，
∴∠CAD为定值，
∵在⊙O₁中∠CAD对弦CD，
∴CD的长与点P的位置无关．
分析：连接AD、AB，∠ADP在⊙O₁中所对的弦为AB，所以∠ADP为定值，∠P在⊙O₂中所对的弦为AB，所以∠P为定值．再利用三角形内角与外角的关系求出∠CAD为定值，则弦CD为定值，与P的位置无关．
点评：本题为动态性题目，解答此题的关键是熟知圆周角与弦的关系，即在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弦相等．