Question

【题目】如图所示，是的外接圆，为直径，的平分线交O于点D，过点D作，分别交，的延长线于点E，F．

（1）求证：是的切线；

（2）填空：

①当的度数为_________时，四边形为菱形；

②若的半径为，，则的长为_________．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①60°；②4

【解析】

（1）连接OD，证OD∥AE，从而得出OD⊥EF，从而证切线；

（2）①当∠BAC=60°时，可得到AC=OD，又根据AC∥OD，可得四边形ACDO是平行四边形，根据AO=OD，可得平行四边形ACDO是菱形；

②如下图，设CE=x，则AC=3x，先证△OGB∽△ACB，得出OG=，再利用OG+CE=OD推导得出x的值，最后在Rt△OGB中，求得GB的长，进而得出CB的长．

（1）如下图，连接OD

∵AO=OD，∴∠OAD=∠ODA

∵AD是∠EAB的角平分线，∴∠EAD=∠DAO

∴∠ADO=∠EAD

∴AE∥OD

∵AE⊥EF

∴OD⊥EF

∴是的切线；

（2）①当∠BAC=60°时，四边形ACDO是菱形

如下图，连接CD

∵AB是的直径，∴∠ACB=90°

∵∠CAB=60°

∴∠ABC=30°

∴在Rt△ABC中，AC=，即AC=AO=OB

∵AO=OD

∴AC=OD

∵AC∥OD，∴四边形ACDO是平行四边形

∵AO=OD

∴平行四边形ACDO是菱形；

②如下图，OD与AB交于点G

设CE=x，则AC=3x

∵OD∥AE，∠ACB=90°

∴∠OGB=∠ACB=90°

∴根据垂径定理，CG=GB

∵∠OBG=∠ABC

∴△OBG∽△ABC

∴，∴OG=

∵OD=OG+GD=OG+CE，∴OD==

∴x=1

∴在Rt△OGB中，OB=，OG=，则GB=2

∴CG=2，CB=4．