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精英家教网如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,O是BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作圆,恰好经过点A,并与BC交于点D.
(1)判断直线CA与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=2
3
,求图中阴影部分的面积(结果保留π).
分析:(1)连接OA,根据题意可得出∠CAO=90°,从而可判断出直线CA与⊙O的位置关系.
(2)先求出扇形OAD的面积,然后根据图中阴影部分的面积等于S△AOC-S扇形OAD可得出答案.
解答:精英家教网解:(1)直线CA与⊙O相切.
如图,连接OA.
∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=∠B=30°,∠DOA=2∠B=60°.
∴∠CAO=90°,即OA⊥CA.
∵点A在⊙O上,
∴直线CA与⊙O相切;

(2)∵AB=2
3
,AB=AC,
∴AC=2
3

∵OA⊥CA,∠C=30°,
∴OA=AC•tan30°=2
3
3
3
=2.
∴S扇形OAD=
60π×22
360
=
2
3
π.
∴图中阴影部分的面积等于S△AOC-S扇形OAD=2
3
-
2
3
π.
点评:本题考查扇形面积的计算机切线的判定,属于综合题目,解答本题时要注意题中条件的运用,还要注意切线的判定定理.
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1
2
B、(
2
2
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1
4
D、
1
8

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