Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4．现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．

（1）求a、c的值；

（2）连接OF，求△OEF的周长；

（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使得以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）20+4；（3）存在，点Q（6，2）或Q（6，3）．

【解析】

（1）根据直角三角形的性质，可得B（﹣2，0），A（0，2），C（2，0），将点代入解析式即可求a，c的值；

（2）求出AB的直线解析为y＝x+2，设F（m，m+2），平移后抛物线解析式y＝﹣（x﹣m）2+m+2，将点C（2，0）代入，得平移后抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣10，进而求出点E的坐标，即可得出结论；

（3）当P在x轴上方时，由△PQE≌△POE，可得QE＝OE＝10，在Rt△QHE中，OH＝＝2，则Q（6，2）；当P在x轴下方时，PQ＝OE＝10，过点P作PK⊥HF与点K，可证明△PKQ∽△QHE，则，则Q（6，3），即可得出结论.

解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，

∴AO＝BC，

∵△ABC面积为4，

∴BCOA＝4，

∴OA＝2，BO＝4，

∴B（﹣2，0），A（0，2），C（2，0），

∵点A，B在抛物线y＝ax2+c上，

∴，

∴，

即a、c的值分别为﹣和2；

（2）如图1，连接OF，

由（1）可知：y＝﹣x2+2，

∵B（﹣2，0），A（/span>0，2），

∴AB的直线解析为y＝x+2，

∵平移后抛物线顶点F在射线BA上，

设F（m，m+2），

∴平移后抛物线解析式y＝﹣（x﹣m）2+m+2，

将点C（2，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2，得

﹣（2﹣m）2+m+2＝0，

∴m＝6或m＝0（舍），

∴F（6，8），

∴平移后抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣10，

当y＝0时，﹣x2+6x﹣10＝0，

∴x＝2或x＝10，

∴E（10，0），

∴OE＝10，

∵F（6，8），

∴OF＝＝10，EF＝＝4，

∴△OEF的周长为OE+OF+EF＝10+10+4＝20+4；

（3）当P在x轴上方时，如图2，

∵△PQE≌△POE，

∴QE＝OE＝10，

在Rt△QHE中，HQ＝＝2，

∴Q（6，2），

当P在x轴下方时，如图3，

∵△PQE≌△EOP，

∴PQ＝OE＝10，

过点P作PK⊥HF与点K，

∴PK＝6，

在Rt△PQK中，QK＝＝8，

∵∠PQE＝90°，

∴∠PQK+∠HQE＝90°，

∵∠HQE+∠HEQ＝90°，

∴∠PQK＝∠HEQ，

∵∠PKQ＝∠QHE＝90°，

∴△PKQ∽△QHE，

∴ ,

∴，

∴QH＝3，

∴Q（6，3），

综上所述：满足条件的点Q（6，2）或Q（6，3）.