Question

2．如图①，在平面直角坐标系中，A（-2，a），B（b，2），且$\sqrt{2a+3b-7}$+|4a-2b+10|=0．
（1）求A，B两点坐标；
（2）点P是y轴上一动点，当S_△ABP不小于12时，求点P的纵坐标的取值范围；
（3）如图②，点P是y轴正半轴上一点，过点P作MN∥x轴，且∠BPN=45°，G在射线PB上，∠APN与∠ABG的角平分线交于点H，试探究∠PHB与∠A的数量关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据非负数的性质，得到2a+3b=7，4a-2b=-10，进而得出a，b的值，据此可得A，B两点坐标；
（2）先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{1}{5}$，进而得出直线AB交y轴于（0，$\frac{1}{5}$），设P（0，y），根据S_△ABP不小于12时，$\frac{1}{2}$×|y-$\frac{1}{5}$|×（2+3）≥12，得到点P的纵坐标的取值范围；
（3）根据∠ABG是△ABP的外角，得到∠A=∠ABG-∠APB，根据∠HBG是△PBH的外角，得出∠H=∠HBG-∠BPH，再根据∠APH=$\frac{1}{2}$∠APN，∠HBG=$\frac{1}{2}$∠ABG，即可得出∠PHB与∠A的数量关系．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2a+3b-7}$+|4a-2b+10|=0，
∴2a+3b=7，4a-2b=-10，
解得a=-1，b=3，
∴A（-2，-1），B（3，2）；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+m，
把A（-2，-1），B（3，2）代入，可得
$\left\{\begin{array}{l}{-1=-2k+m}\\{2=3k+m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{5}}\\{m=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{5}$x+$\frac{1}{5}$，
令x=0，则y=$\frac{1}{5}$，即直线AB交y轴于（0，$\frac{1}{5}$），
设P（0，y），则
当S_△ABP不小于12时，$\frac{1}{2}$×|y-$\frac{1}{5}$|×（2+3）≥12，
解得y≥5或y≤-$\frac{23}{5}$；
即点P的纵坐标不小于5或不大于-$\frac{23}{5}$；

（3）∠PHB与∠A的数量关系为：∠PHB=$\frac{1}{2}$（∠A+45°）．
理由：∵∠APN与∠ABG的角平分线交于点H，
∴∠APH=$\frac{1}{2}$∠APN，∠HBG=$\frac{1}{2}$∠ABG，
∵∠ABG是△ABP的外角，
∴∠A=∠ABG-∠APB，
∵∠HBG是△PBH的外角，
∴∠H=∠HBG-∠BPH
=$\frac{1}{2}$∠ABG-（∠APB-∠APH）
=$\frac{1}{2}$∠ABG-（∠APN-45°）+∠APH
=$\frac{1}{2}$∠ABG-∠APN+45°+$\frac{1}{2}$∠APN
=$\frac{1}{2}$∠ABG-$\frac{1}{2}$∠APN+45°
=$\frac{1}{2}$∠ABG-$\frac{1}{2}$（∠APB+45°）+45°
=$\frac{1}{2}$（∠ABG-∠APB）+$\frac{1}{2}$×45°
=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$×45°
=$\frac{1}{2}$（∠A+45°）．

点评 本题主要考查了非负数的性质，三角形外角性质以及待定系数法求一次函数解析式的运用，解题时注意：非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．