如图1.在四边形ABCD的AB边上任取一点E.分别连接ED.EC.可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似.我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点,如果这3个三角形都相似.我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．(1)若图1中.∠A=∠B=∠DEC=50°.说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点,(2)①如图2.画出矩形ABCD的AB边上的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．
（1）若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；

（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）
②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．
（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．

分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△EBC，所以问题得解．
（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．②不一定存在强相似点，如正方形．
（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．

解答：解：（1）理由：∵∠A=50°，
∴∠ADE+∠DEA=130°．
∵∠DEC=50°，
∴∠BEC+∠DEA=130°．
∴∠ADE=∠BEC．
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．

（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．

如图所示：连接FC，DF，
∵CD为直径，∴∠DFC=90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠B=90°，
∴△DFC∽△CBF，
同理可得出：△DFC∽△FAD，
（若不用圆规画图，则必须在图上标注直角符号或对直角另有说明．）
②对于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形．（答案不惟一，若学生画图说明也可．）

（3）第一种情况：
∠A=∠B=∠DEC=90°，∠ADE=∠BEC=∠EDC，
即△ADE∽△BEC∽△EDC．
方法一：
如图1，延长DE，交CB的延长线于点F，
说明DE=EF，说明AE=BE．

方法二：
如图2，过点E作EF⊥DC，垂足为F．
因为∠ADE=∠CDE，∠BCE=∠DCE，

所以AE=EF，EF=BE．所以AE=BE．
方法三：
由△ADE∽△EDC可得

，
即AE=

DE•EC

．
同理，由△BEC∽△EDC可得

，
即BE=

ED•EC

，
所以AE=BE．
方法四：
∵点E是梯形ABCD的边AB上的强相似点
∴△ADE，△BEC以及△CDE是两两相似的，
∵△ADE是直角三角形
∴△DEC也是直角三角形．
第一种情况：∠DEC=90°时
①∠CDE=∠DEA
∴DC∥AE．
这与四边形ABCD是梯形相矛盾，不成立
②∠CDE=∠EDA
∵∠ECD+∠EDC=90°，∠ADE+∠AED=90°
∴∠AED=∠ECD
∵∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°
∴∠AED=∠BCE
∴∠AED=∠BCE=∠ECD
∴DE平分∠ADC 同理可得 CE平分∠DCB
过E作EF⊥DC
∵AE⊥AD，BE⊥BC，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB
∴AE=FE，BE=FE
∴AE=BE
第二种情况：
如图3，∠A=∠B=∠EDC=90°，∠ADE=∠BCE=∠DCE，
即△ADE∽△BEC∽△DCE．
所以∠AED=∠BEC=∠DEC=60°，
说明AE=

DE，BE=

CE，DE=

CE，
（或说明BE=DE，AE=

DE）
所以AE=

BE．综上，AE=BE或AE=

BE．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论．

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（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，E是AD上一点，EC∥AB，EB∥CD，若S_△DEC=1，S_△ABE=3，则S_△BCE=

；若S_△DEC=S₁，S_△ABE=S₂，S_△BCE=S，请直接写出S与S₁、S₂间的关系式：

；
（2）如图2，△ABC、△DCE、△GEF都是等边三角形，且A、D、G在同一直线上，B、C、E、F也在同一直线上，S_△ABC=4，S_△DCE=9，试利用（1）中的结论得△GEF的面积为

．

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∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．

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如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

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（2011•东台市二模）在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

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（1）求证：DE=DF；
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