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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．
    （1）若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；
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    （2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）
    ②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．
    （3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．
    分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△EBC，所以问题得解．
    （2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．②不一定存在强相似点，如正方形．
    （3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．
    解答：解：（1）理由：∵∠A=50°，
    ∴∠ADE+∠DEA=130°．
    ∵∠DEC=50°，
    ∴∠BEC+∠DEA=130°．
    ∴∠ADE=∠BEC．
    ∵∠A=∠B，
    ∴△ADE∽△BEC．
    ∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．

    （2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．精英家教网
    如图所示：连接FC，DF，
    ∵CD为直径，∴∠DFC=90°，
    ∵CD∥AB，
    ∴∠DCF=∠CFB，
    ∵∠B=90°，
    ∴△DFC∽△CBF，
    同理可得出：△DFC∽△FAD，
    （若不用圆规画图，则必须在图上标注直角符号或对直角另有说明．）
    ②对于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形．（答案不惟一，若学生画图说明也可．）

    （3）第一种情况：
    ∠A=∠B=∠DEC=90°，∠ADE=∠BEC=∠EDC，
    即△ADE∽△BEC∽△EDC．
    方法一：
    如图1，延长DE，交CB的延长线于点F，
    说明DE=EF，说明AE=BE．

    方法二：
    如图2，过点E作EF⊥DC，垂足为F．
    因为∠ADE=∠CDE，∠BCE=∠DCE，精英家教网
    所以AE=EF，EF=BE．所以AE=BE．
    方法三：
    由△ADE∽△EDC可得
    DE
    DC
    =
    AE
    EC
    ，
    即AE=
    DE•EC
    DC
    ．
    同理，由△BEC∽△EDC可得
    EC
    DC
    =
    BE
    ED
    ，
    即BE=
    ED•EC
    DC
    ，
    所以AE=BE．
    方法四：
    ∵点E是梯形ABCD的边AB上的强相似点
    ∴△ADE，△BEC以及△CDE是两两相似的，
    ∵△ADE是直角三角形
    ∴△DEC也是直角三角形．
    第一种情况：∠DEC=90°时
    ①∠CDE=∠DEA
    ∴DC∥AE．
    这与四边形ABCD是梯形相矛盾，不成立
    ②∠CDE=∠EDA
    ∵∠ECD+∠EDC=90°，∠ADE+∠AED=90°
    ∴∠AED=∠ECD
    ∵∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°
    ∴∠AED=∠BCE
    ∴∠AED=∠BCE=∠ECD
    ∴DE平分∠ADC 同理可得 CE平分∠DCB
    过E作EF⊥DC
    ∵AE⊥AD，BE⊥BC，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB
    ∴AE=FE，BE=FE
    ∴AE=BE
    第二种情况：
    如图3，∠A=∠B=∠EDC=90°，∠ADE=∠BCE=∠DCE，
    即△ADE∽△BEC∽△DCE．
    所以∠AED=∠BEC=∠DEC=60°，
    说明AE=
    1
    2
    DE，BE=
    1
    2
    CE，DE=
    1
    2
    CE，
    （或说明BE=DE，AE=
    1
    2
    DE）
    所以AE=
    1
    2
    BE．综上，AE=BE或AE=
    1
    2
    BE．
    点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）已知：如图1，在四边形ABCD中，E是AD上一点，EC∥AB，EB∥CD，若S△DEC=1，S△ABE=3，则S△BCE=
     
    ；若S△DEC=S1，S△ABE=S2，S△BCE=S，请直接写出S与S1、S2间的关系式：
     
    ；
    （2）如图2，△ABC、△DCE、△GEF都是等边三角形，且A、D、G在同一直线上，B、C、E、F也在同一直线上，S△ABC=4，S△DCE=9，试利用（1）中的结论得△GEF的面积为
     
    ．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    我们把既有外接圆又有内切圆的四边形称为双圆四边形，如图1，四边形ABCD是双圆四边形，其外心为O1，内心为O2．
    （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形中，双圆四边形有
     
    个；
    （2）如图2，在四边形ABCD中，已知：∠B=∠D=90°，AB=AD，问：这个四边形是否是双圆四边形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
    （3）如图3，如果双圆四边形ABCD的外心与内心重合于点O，试判定这个四边形的形状，并说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•黑河）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN
    （1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
    （2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=
    1
    2
    ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2013•咸宁）阅读理解：
    如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
    （1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
    （2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
    拓展探究：
    （3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•东台市二模）在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

    思考验证：
    （1）求证：DE=DF；
    （2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；
    归纳结论：
    （3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°-α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）
    探究应用：
    （4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．

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