Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W．

（1）如图1，已知点A（-2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点B．在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于的点是 ；

（2）如图2，已知点C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线l：y=2x+8上的一个动点．若点P独立于折线CD-DE，求点P的横坐标xp的取值范围；

（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t＞-3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）P2，P3；（2）xP＜-5或xP＞-．（3）-3＜t＜1-或1+＜t＜7-．

【解析】

（1）根据点P独立于图形W的定义即可判断；

（2）求出直线DE，直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断；

（3）求出三种特殊位置时t的值，结合图象即可解决问题.

（1）由题意可知：在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于的点是P2，P3．

（2）∵C（-3，0），D（0，3），E（3，0），

∴直线CD的解析式为y=x+3，直线DE的解析式为y=-x+3，

由，解得，可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5，

由，解得，可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-，

∴满足条件的点P的横坐标xp的取值范围为：xP＜-5或xP＞-．

（3）如图3-1中，当直线KN与⊙H相切于点E时，连接EH，则EH=EK=1，HK=，

∴OT=KT+HK-OH=3+-4=-1，

∴T（0，1-），此时t=1-，

∴当-3＜t＜1-时，⊙H上的所有点都独立于图形W．

如图3-2中，当线段KN与⊙H相切于点E时，连接EH．

OT=OH+KH-KT=4+-3=1+，

∴T（0，1+），此时t=1+，

如图3-3中，当线段MN与⊙H相切于点E时，连接EH．

OT=OM+TM=4-+3=7-，

∴T（0，7-），此时t=7-，

∴当1+＜t＜7-时，⊙H上的所有点都独立于图形W．

综上所述，满足条件的t的值为-3＜t＜1-或1+＜t＜7-．