Question

某服装经营部每天的固定费用为300元，现试销一种成本为每件80元的服装、规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于35%，经试销发现，每件销售单价相对成本提高x（元）（x为整数）与日均销售量y（件）之间的关系符合一次函数y=kx+b，且当x=10时，y=100；x=20时，y=80．
（1）求一次函数y=kx+b的关系式；
（2）设该服装经营部日均获得毛利润为W元（毛利润=销售收入-成本-固定费用），求W关于x的函数关系式；并求当销售单价定为多少元时，日均毛利润最大，最大日均毛利润是多少元？
（3）若该批试销服装总共有864件，刚好在规定的a天（a为整数）内全部销售完毕，则a的值是______．（写出一个即可）

Answer 1

解：（1）根据题意得
解得
∴所求一次函数的关系式为y=-2x+120；

（2）W=（-2x+120）x-300
即所示函数的关系式为：W=-2x²+120x-300
∵W=-2x²+120x-300=-2（x-30）²+1500
且抛物线的开口向下，
∴当x＜30时，W随x的增大而增大
而根据题意，得0≤x≤28
∴当x=28时，W_最大=-2（28-30）²+1500=1492．
∴当销售单价定为108元时，日均的毛利润最大，为1492元．

（3）8，或9，或12（写出一个即可）
而0≤x≤28，即32≤60-x≤60
∴60-x=2×3³，或60-x=2⁴×3，或60-x=2²×3²
解得x=6，或x=12，或x=24，
所以a=8，或9，或12．
分析：（1）列出二元方程组解得k、b，
（2）列出函数关系式求得最大值，
（3）根据每天买的件数，列出关系式求得a的范围．
点评：本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题．