【题目】如图1,点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.
(1)求证:EB=GD且EB⊥GD;
(2)若AB=2,AG=,求的长;
(3)如图2,正方形AEFG绕点A逆时针旋转连结DE,BG,与的面积之差是否会发生变化?若不变,请求出与的面积之差;若变化,请说明理由.
【答案】(1)见解析; (2) ;(3)不变,与的面积之差为0
【解析】
(1)在△GAD和△EAB中,∠GAD=90°+∠EAD,∠EAB=90°+∠EAD,得到∠GAD=∠EAB,从而△EAB≌△GAD,即EB=GD;由∠AEB=∠AGD,∠EOH=∠AOG,即可得出∠EHG=∠EAG=90°;
(2)设BD与AC交于点O,由AB=AD=2,在Rt△ABD中求得DB,在Rt△GOD中利用勾股定理即可求得结果;
(3)作BQ⊥GA交GA的延长线于Q,作DP⊥EA交EA于P,可证得∠1=∠2,根据“AAS”可判断△PDA≌△QBA,所以PD=BQ,然后根据三角形面积公式得到,保持不变.
(1)如图1,
∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形,
∴AG=AE,AB=AD,∠EAG=90°,∠DAB=90°,
∠GAD=90°+∠EAD,∠EAB=90°+∠EAD,
∴∠GAD=∠EAB,
在△EAB和△GAD中,
,
∴△EAB≌△GAD(SAS),
∴EB=GD;∠AEB=∠AGD,
∵∠EOH=∠AOG,
∴∠EHG=∠EAG=90°,
∴EB=GD且EB⊥GD;
(2)如图2,连接BD,BD与AC交于点O,
∵AB=AD=2,
在Rt△ABD中,,
∴AO=DO=,
∴,
∴;
(3)不变,.理由如下:
作BQ⊥GA交GA的延长线于Q,作DP⊥EA交EA于P,如图3,
正方形ABCD和正方形AEFG中,
∠EAG=∠DAB=90°,AD=AB,
∴∠EAD+∠BAG+∠EAG+∠DAB =360,则∠BAG=180°-∠EAD,
∵∠1=90°-∠EAD,∠2=∠BAG -90°=180°-∠EAD -90°=90°-∠EAD,
∴∠1=∠2,
在△PDA和△QBA中,
,
∴△PDA≌△QBA(AAS),
∴DP=BQ,
∵,,
∴.
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【题目】阅读下面的文字,解答问题:大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,但是由于1<<2,所以的整数部分为1,将减去其整数部分1,差就是小数部分,根据以上的内容,解答下面的问题:
(1)的整数部分是______,小数部分是______;
(2)的整数部分是______,小数部分是_____;
(3)若设整数部分是x,小数部分是y,求x﹣y的值.
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【题目】一个装有进水管和出水管的容器,根据实际需要,从某时刻开始的2分钟内只进水不出水,在随后的4分钟内既进水又出水,接着关闭进水管直到容器内的水放完.假设每分钟的进水量和出水量是两个常数,容器内的水量y(单位:升)与时间x(单位:分钟)之间的部分关系如图所示.
(1)当2≤x≤6时,求y与x的表达式;
(2)请将图象补充完整;
(3)从进水管开始进水起,求该容器内的水量不少于7.5升所持续时间.
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【题目】为了提高学生的身体素质,并争取在学校的体育节中获得好成绩,班级准备从体育用品商店购买跳绳和毽子.已知购买5个毽子和3根跳绳共需85元,购买4个毽子和5根跳绳共需120元.
(1)求一个毽子和一根跳绳各需多少元?
(2)由于购买量大,商店给出如下优惠:毽子6个一盒,整盒出售,每盒27元,跳绳八折优惠.已知班级需要购买的毽子数比跳绳数的2倍多10,总费用不超过395元.问班级最多能购买多少根跳绳?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(a,0),B(0,b),且a,b满足,连接AB,AB=5.C(-7,0)是x轴负半轴上一点,连接BC.
(1)求OA、OB的长;
(2)动点P从点B出发,沿BA以每秒2个单位的速度向终点A匀速运动,连接CP,设点P的运动时间为t,△CBP的面积为S,用含t的代数式表示S(不要求写出t的取值范围)
(3)在(2)的条件下,连接OP,是否存在t值,使S△BCP=S△PCO,如果存在,求出相应的t值,并直接写出P点坐标.若不存在,说明理由.
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【题目】小明和小刚进行赛跑训练,他们选择了一个土坡,按同一路线同时出发,从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚.他们俩上坡的平均速度不同,下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1. 5倍.设两人出发x min后距出发点的距离为y m.图中折线段OBA表示小明在整个训练中y与x的函数关系,其中点A在x轴上,点B坐标为(2,480).
(1)点B所表示的实际意义是 ;
(2)求出AB所在直线的函数关系式;
(3)如果小刚上坡平均速度是小明上坡平均速度的一半,那么两人出发后多长时间第一次相遇?
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【题目】我们知道,任意一个正整数都可以进行这样的分解:(是正整数,且),在的所有这种分解中,如果两因数之差的绝对值最小,我们就称是的最佳分解,并规定.
例如:18可以分解成,,,因为,所以是18的最佳分解,所以.
(1)如果一个正整数是另外一个正整数的平方,我们称正整数是完全平方数.
求证:对任意一个完全平方数,总有;
(2)如果一个两位正整数,(,为自然数),交换其个位上的数与十位上的数,得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为9,那么我们称这个为“求真抱朴数”,求所有的“求真抱朴数”;
(3)在(2)所得的“求真抱朴数”中,求的最大值.
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