Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，等边三角形△ABO的边长为4．

（1）求点A的坐标．

（2）若点P从点O出发以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒，△PAB的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的范围．

（3）在（2）的条件下，当点P在点B的右侧时，若S＝，在平面内是否存在点Q，使点P、Q、A、B围成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(2，2)；（2）当0≤t＜4时，S=-t+4；当t＞4时，S=t﹣4；（3）存在， Q的坐标为(3，2)或(1，2）或(7，﹣2)

【解析】

（1）利用等边三角形的性质即可得出结论；

（2）分点P在边OB和OB的延长线上，利用三角形的面积公式即可得出结论；

（3）分三种情况，利用中点坐标公式和平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解即可得出结论．

解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠AOD＝60°，OD＝OB＝2，

在Rt△AOD中，AD＝OD＝2，

∴A(2，2)；

（2）由运动知，OP＝t，

当0≤t＜4时，如图2，BP＝OB﹣OP＝4﹣t，

∴S＝S△ABP＝BPAD＝(4﹣t)×2＝﹣t+4，

当t＞4时，如图3，BP＝OP﹣OB＝t﹣4，

∴S＝S△ABP＝BPAD4＝(t﹣4×2＝t﹣4；

（3）由（2）知，点P在点B右侧时，t＞4，S＝t﹣4，

∵S＝，

∴t﹣4＝，

∴t＝5，

∴P(5，0)，

∵等边△ABC的边长为4，

∴B(4，0)，

∵A(2，2)，设Q(m，n)，

∵使点P、Q、A、B围成的四边形是平行四边形，

∴①当AP为对角线时，

∴AP与BQ互相平分，

∴(2+5)＝(4+m)，(2+0)＝(0+n)，

∴m＝3，n＝2，

∴Q(3，2)，

②当AB为对角线时，∴AB与PQ互相平分，

∴(2+4)＝(5+m)，(2+0)＝(0+n)，

∴m＝1，n＝2，

∴Q(1，2)，

③当BP为对角线时，∴BP与AQ互相平分，

∴(4+5)＝(2+m)，(0+0)＝(2+n)，

∴m＝7，n＝﹣2，

∴Q(7，﹣2)，

即：满足条件的点Q的坐标为(3，2)或(1，2)或(7，﹣2)．

故答案为：（1）A(2，2)；（2）当0≤t＜4时，S=-t+4；当t＞4时，S=t﹣4；（3）存在， Q的坐标为(3，2)或(1，2)或(7,﹣2).