Question

17．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为点A（0，3）、B（-4，0）、C（1，0），沿AC所在直线将△ABC翻折使点B落在点D处，抛物线y=ax²+bx+c经过A、C、D三点．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在直线CD下方的抛物线上，是否存在一点P，使△PDC的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明AB=BC=AD=CD=5，即可解决问题．
（2）把A、C、D三点代入抛物线y=ax²+bx+c，解方程组即可．
（3）存在．作PM⊥x轴于M，交CD于Q，交AD于N，设点P（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3），则Q（m，$\frac{3}{4}$m-$\frac{3}{4}$），构建二次函数即可解决问题．

解答 解：（1）∵A（0，3），B（-4，0），C（1，0），∴BC=1-（-4）=5，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵沿AC所在直线将△ABC翻折，使得点B落在点D处，
∴AD=AB=BC=CD=5，
∴四边形ABCD是菱形．

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵BC⊥y轴，
∴点D坐标（5，3），
∵抛物线经过A、C、D三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a+b+c=0}\\{25a+5b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{15}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3．

（3）在直线CD下方的抛物线上，存在一点P，使得△PDC的面积最大．
理由：作PM⊥x轴于M，交CD于Q，交AD于N，如图所示．
设直线CD解析式为y=kx+b₁，把C（1，0），D（5，3）代入得到$\left\{\begin{array}{l}{k+{b}_{1}=0}\\{5k+{b}_{1}=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{{b}_{1}=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$
∴直线CD的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
设点P（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3），则Q（m，$\frac{3}{4}$m-$\frac{3}{4}$），
∴PQ=（$\frac{3}{4}m-\frac{3}{4}$）-（$\frac{3}{4}{m}^{2}$-$\frac{15}{4}$m+3）=-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m-$\frac{15}{4}$，
∵CM+DN=4，
∴S_△PCD=S_△PQC+S_△PQD=$\frac{1}{2}$•PQ•CM+$\frac{1}{2}$•PQ•DN=$\frac{1}{2}$PQ•（CM+DN）=2PQ
=2（-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{2}$m-$\frac{15}{4}$）
=-$\frac{3}{2}$m²+9m-$\frac{15}{2}$
=-$\frac{3}{2}$（m-3）²+6，
∴当m=3时，S_△PCD的面积最大．
此时点P（3，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查二次函数综合题．菱形的判定、待定系数法、一次函数等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数理由二次函数的性质解决最值问题，属于中考压轴题．