Question

如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，-1），并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D．
（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；
（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．
（3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：（1）先求出点D的坐标，再求出BD的解析式，然后根据S_{四边形AOCD}=S_△AOD+S_△COD即可求解；
（2）分三种情况讨论：①当DP=DB时，②当BP=DB时，③当PB=PD时；
（3）根据图象即可得出答案．

解答：解：（1）∵点D的横坐标为1，点D在y=x+1的图象上，∴D（1，2），
∴直线BD的解析式为y=3x-1，∴A（0，1），C（

1

3

，0），
∴S_{四边形AOCD}=S_△AOD+S_△COD=

1

2

×1×1+

1

2

×

1

3

×2=

5

6

；
（2）①当DP=DB时，设P（0，y），
∵B（0，-1），D（1，2），
∴DP²=1²+（y-2）²=DB²=1²+（2+1）²，
∴P（0，5）；
②当BP=DB时，DB=

10

，∴P（0，-1-

10

）或P（0，

10

-1）；
③当PB=PD时，设P（0，a），则（a+1）²=1+（2-a）²，解得a=

2

3

，
∴P（0，

2

3

）；
（3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是：k＞1．

点评：本题考查了一次函数综合知识，难度适中，关键是掌握分类讨论思想的运用．