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在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=10,点D在BC所在的直线上运动,作∠ADE=45°(A,D,E按逆时针方向).如图,若点D在线段BC上运动,DE交AC于E.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)若点D的运动速度为1个单位长度每秒时,设y=AD2,点D的运动时间为t,求y与t的函数关系,并求当△ADE是等腰三角形时AE的长.
分析:(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°;由三角形外角的性质得到∠2+∠ADE=∠1+∠B,即∠2+45°=∠1+45°,故∠1=∠2;所以由“两角法”判定这两个三角形相似;
(2)如图,过点A作AF⊥BC于点F.根据等腰直角三角形的性质易求AF=BF=5
2
,则AD2=DF2+AF2.把相关线段的长度代入即可求得y与t的函数关系式;当△ADE是等腰三角形时,需要分AD=AE、AD=DE、AE=DE三种情况进行讨论.
解答:解:(1)如图,∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°.
又∵∠2+∠ADE=∠1+∠B,即∠2+45°=∠1+45°,
∴∠1=∠2,
∴△ABD∽△DCE;

(2)如图,过点A作AF⊥BC于点F.
易求AF=BF=5
2
,则AD2=DF2+AF2
所以,根据题意,得到:
y=(5
2
-t)2+50,即y=t2-10
2
t+100(0≤t≤10
2
).
当△ADE是等腰三角形时,分三种情况:
①当AD=AE时,∠ADE=∠AED=45°时,得到∠DAE=90°,点D、E分别与B、C重合,则AE=AC=10.
②当AD=DE时,由①知△ABD∽△DCE,
又∵AD=DE,知△ABD≌△DCE.
∴AB=CD=10,∴BD=CE=10
2
-10,
∴AE=AC-CE=20-10
2

③当AE=DE时,有∠EAD=∠ADE=45°=∠C,
故∠ADC=∠AED=90°.
∴DE=AE=
1
2
AC=5.
综上所述,当AE的长度为10、20-10
2
、5时,△ADE是等腰三角形.
点评:考查相似三角形的判定和性质,相似三角形和全等三角形的转化.分情况讨论等腰三角形的可能性.
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a
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a
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