【题目】如图1,平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、,若有,则称点为关于点的勾股点.
(1)如图2,在的网格中,每个小正方形的边长均为1,点、、、、、、均在小正方形的顶点上,则点E是关于点B的勾股点.
(2)如图3,是矩形内一点,且点是关于点的勾股点,
①求证:;
②若,,求的度数.
(3)如图3,矩形中,,,是矩形内一点,且点是关于点的勾股点.
①当时,求的长;
②直接写出的最小值.
【答案】(2)①证明见解析;②30°;(3)①AE的长为或;②.
【解析】
(2)①由矩形性质得∠ADC=90°,可得AD2+DC2=AC2;根据勾股数得BC2+EC2=AC2,又因为AD=BC,即得CE=CD.
②设∠CED=α,根据∠AEC=135°和CE=CD即∠ADC=90°,可用α表示△ADE的三个内角,利用三角形内角和180°为等量关系列方程,即求出α进而求出∠ADE.
(3)由条件“点C是△ABE关于点A的勾股点”仍可得CE=CD=5,作为条件使用.①△ADE是等腰三角形需分3种情况讨论,把每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算,即能求AE的长.②在CB上截取CH= ,利用两边对应成比例及夹角相等构造△ECH∽△BCE,把BE转化为EH,所以当点A、E、H在同一直线上时,AE+BE=AH取得最小值,利用勾股定理求出AH即可.
解:(2)①证明:∵点C是△ABE关于点A的勾股点
∴CA2=CB2+CE2
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD,AD=BC,∠ADC=90°
∴CA2=AD2+CD2=CB2+CD2
∴CB2+CE2=CB2+CD2
∴CE=CD
②设∠CED=α,则∠CDE=∠CED=α
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-α
∵∠AEC=135°
∴∠AED=∠AEC-∠CED=135°-α
∵DA=DE
∴∠DAE=∠DEA=135°-α
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°
∴2(135°-α)+(90°-α)=180°
解得:α=60°
∴∠ADE=90°-60°=30°
(3)①∵矩形ABCD中,AB=5,BC=8
∴AD=BC=8,CD=AB=5
∵点C是△ABE关于点A的勾股点
∴CE=CD=5
i)如图1,若DE=DA,则DE=8
过点E作MN⊥AB于点M,交DC于点N
∴∠AME=∠MND=90°
∴四边形AMND是矩形
∴MN=AD=8,AM=DN
设AM=DN=x,则CN=CD-DN=5-x
∵Rt△DEN中,EN2+DN2=DE2;Rt△CEN中,EN2+CN2=CE2
∴DE2-DN2=CE2-CN2
∴82-x2=52-(5-x)2
解得:x=
∴EN= ,AM=DN=
∴ME=MN-EN=8-,
∴Rt△AME中,AE=
ii)如图2,若AE=DE,则E在AD的垂直平分线上
过点E作PQ⊥AD于点P,交BC于点Q
∴AP=DP=AD=4,∠APQ=∠PQC=90°
∴四边形CDPQ是矩形
∴PQ=CD=5,CQ=PD=4
∴Rt△CQE中,EQ==3
∴PE=PQ-EQ=2
∴Rt△APE中,AE=
iii)如图3,若AE=AD=8,则AE2+CE2=AD2+CD2=AC2
∴∠AEC=90°
取AC中点O,则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上
∴点E也在⊙O上
∴点E不在矩形ABCD内部,不符合题意
综上所述,若△ADE是等腰三角形,AE的长为或.
②在CB上截取CH= ,连接EH
∴ ,
∵∠ECH=∠BCE
∴△ECH∽△BCE
∴ ,
∴EH=BE
∴AE+BE=AE+EH
∴当点A、E、H在同一直线上时,AE+BE=AH取得最小值
∵BH=BC-CH=8-= ,
∴AH=
∴AE+BE的最小值为.
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【题目】对于平面内的点 P 和图形 M,给出如下定义:以点 P 为圆心,以 r 为半径作⊙P,使得图形 M 上的所有点都在⊙P 的内部(或边上),当 r 最小时,称⊙P 为图形 M 的 P 点 控制圆,此时,⊙P 的半径称为图形 M 的 P 点控制半径.已知,在平面直角坐标系中, 正方形 OABC 的位置如图所示,其中点 B(2,2)
(1)已知点 D(1,0),正方形 OABC 的 D 点控制半径为 r1,正方形 OABC 的 A 点 控制半径为 r2,请比较大小:r1 r2;
(2)连接 OB,点 F 是线段 OB 上的点,直线 l:y= x+b;若存在正方形 OABC 的 F点控制圆与直线 l 有两个交点,求 b 的取值范围.
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【题目】如图,在正方形中,是边上的一动点(不与点、重合),连接,点关于直线的对称点为,连接并延长交于点,连接,过点作交的延长线于点,连接.
(1)求证:;
(2)用等式表示线段与的数量关系,并证明.
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【题目】已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位长度,平移后的抛物线与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若B,C是线段AD的三等分点,则m的值为__________.
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【题目】为纪念建国70周年,某校举行班级歌咏比赛,歌曲有:《我爱你,中国》,《歌唱祖国》,《我和我的祖国》(分别用字母A,B,C依次表示这三首歌曲).比赛时,将A,B,C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上,洗匀后正面向下放在桌面上,八(1)班班长先从中随机抽取一张卡片,放回后洗匀,再由八(2)班班长从中随机抽取一张卡片,进行歌咏比赛.
(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________;
(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果,并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率.
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【题目】为了解八年级学生的户外活动情况,某校随机调查了该年级部分学生双休日户外活动的时间(单位:小时),调查结果按0~1,1~2,2~3,3~4(每组含前一个边界值,不含后一个边界值)分为四个等级,并依次用A,B,C,D表示,调查人员整理数据并绘制了如图所示的不完整的统计图,请根据所给信息解答下列问题.
(1)求本次调查的学生人数.
(2)求等级D的学生人数,并补全条形统计图.
(3)该年级共有600名学生,估计该年级学生双休日户外活动时间不少于2小时的人数.
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【题目】在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球,把它们充分搅匀.
(1)“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 事件,“从中任意抽取1个球是黑球”是 事件;
(2)从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是 ;
(3)学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言,制定如下规则:从盒子中任取两个球,若两球同色,则选甲;若两球异色,则选乙.你认为这个规则公平吗?请用列表法或画树状图法加以说明.
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【题目】如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知A(–1,0),且直线BC的解析式为y=x-2,作垂直于x轴的直线,与抛物线交于点F,与线段BC交于点E(不与点B和点C重合).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若△CEF是以CE为腰的等腰三角形,求m的值;
(3)点P为y轴左侧抛物线上的一点,过点P作交直线BC于点M,连接PB,若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似,求P点的坐标.
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