【题目】如图,是⊙的直径,是⊙的弦,点是延长线的一点,平分交⊙于点,过点作,垂足为点
(1)求证:是⊙的切线;
(2)若,求⊙的半径.
【答案】(1)见解析;(2)2.5
【解析】
(1)连接CO,易得∠OCA=∠OAC,由AC平分∠FAB,得∠CAE=∠OAC,从而得∠OCA=∠CAE,,进而即可得OC∥FD,即可得到结论;
(2)连接BC,由勾股定理得AC=,易得△ABC∽△ACE,从而得,进而即可求解.
(1)连接CO,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∵AC平分∠FAB,
∴∠CAE=∠OAC,
∴∠OCA=∠CAE,
∴OC∥FD,
∵CE⊥DF,
∴OC⊥CE,
∴CE是⊙O的切线;
(2)连接BC,
在Rt△ACE中,AC=,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BCA=90°,
∴∠BCA=∠CEA,
∵∠CAE=∠CAB,
∴△ABC∽△ACE,
∴,
∴,
∴AB=5,
∴AO=2.5,即⊙O的半径为2.5.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形的顶点的坐标为,点在轴正半轴上,点在第三象限的双曲线上,过点作轴交双曲线于点,连接,则的面积为__________.
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【题目】如图,在平面直角系中,点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,∠ABO=30°,AB=2,以AB为边在第一象限内作等边△ABC,反比例函数的图象恰好经过边BC的中点D,边AC与反比例函数的图象交于点E.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求点E的横坐标.
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【题目】小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:
问题情境:(1)如图1,四边形中,,点为边的中点,连接并延长交的延长线于点,求证:;(表示面积)
问题迁移:(2)如图2:在已知锐角内有一个定点.过点任意作一条直线分别交射线于点.小明将直线绕着点旋转的过程中发现,的面积存在最小值,请问当直线在什么位置时,的面积最小,并说明理由.
实际应用:(3)如图3,若在道路之间有一村庄发生疫情,防疫部门计划以公路和经过防疫站的一条直线为隔离线,建立个面积最小的三角形隔离区,若测得试求的面积.(结果保留根号)(参考数据:)
拓展延伸:(4)如图4,在平面直角坐标系中,为坐标原点,点的坐标分别为,过点的直线与四边形一组对边相交,将四边形分成两个四边形,求其中以点为顶点的四边形面积的最大值.
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【题目】如图,△ABC中,BC=4,⊙P与△ABC的边或边的延长线相切.若⊙P半径为2,△ABC的面积为5,则△ABC的周长为( )
A.8B.10C.13D.14
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【题目】移动通信公司建设的钢架信号塔(如图1),它的一个侧面的示意图(如图2).CD是等腰三角形ABC底边上的高,分别过点A、点B作两腰的垂线段,垂足分别为B1,A1,再过A1,B1分别作两腰的垂线段所得的垂足为B2,A2,用同样的作法依次得到垂足B3,A3,….若AB为3米,sinα=,则水平钢条A2B2的长度为( )
A. 米B. 2米C. 米D. 米
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【题目】温州茶山杨梅名扬中国,某公司经营茶山杨梅业务,以3万元/吨的价格买入杨梅,包装后直接销售,包装成本为1万元/吨,它的平均销售价格y(单位:万元/吨)与销售数量x(2≤x≤10,单位:吨)之间的函数关系如图所示.
(1)若杨梅的销售量为6吨时,它的平均销售价格是每吨多少万元?
(2)当销售数量为多少时,该经营这批杨梅所获得的毛利润(w)最大?最大毛利润为多少万元?(毛利润=销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用)
(3)经过市场调查发现,杨梅深加工后不包装直接销售,平均销售价格为12万元/吨.深加工费用y(单位:万元)与加工数量x(单位:吨)之间的函数关系是y=x+3(2≤x≤10).
①当该公司买入杨梅多少吨时,采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样?
②该公司买入杨梅吨数在 范围时,采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些?
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【题目】张琪和爸爸到曲江池遗址公园运动,两人同时从家出发,沿相同路线前行,途中爸爸有事返回,张琪继续前行5分钟后也原路返回,两人恰好同时到家张琪和爸爸在整个运动过程中离家的路点y1(米),y2(米)与运动时间x(分)之间的函数关系如图所示
(1)求爸爸返问时离家的路程y2(米)与运动时间x(分)之间的函数关系式;
(2)张琪开始返回时与爸爸相距多少米?
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【题目】焦作市教育局为调查全市教师的运动情况,结合现今流行的“微信运动”,随机调查了本市名老师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理,绘制了如下的统计图表:
步数 | 频数 | 频率 |
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)写出的值,并补全频数分布直方图;
(2)本市约有名教师,结合调查的数据估计日行走步数超过步(包含步)的教师有多少名?
(3)若在被调查的教师中,选取日行走步数超过步(包含步)的两名教师与大家分享心得,求被选取的两名教师恰好都在步(包含步)以上的概率.
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