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    （1）观察发现：
    如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．
    做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
    做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为
     
    ．
    （2）实践运用：
    如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是
    		AD
    的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
    （3）拓展延伸：
    如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．
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    分析：（1）首先由等边三角形的性质知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的长度，从而得出结果；
    （2）要在直径CD上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
    （3）画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P．则点P即为所求．
    解答：解：（1）BP+PE的最小值=
    		BC2-BE2
    =
    		22-12
    =
    		3
    ．

    （2）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，连接OA′，AA′，OB．
    ∵点A与A′关于CD对称，∠AOD的度数为60°，
    ∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，精英家教网
    ∵点B是
    AD
    的中点，
    ∴∠BOD=30°，
    ∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，
    ∵⊙O的直径CD为4，
    ∴OA=OA′=2，
    ∴A′B=2
    		2
    ．
    ∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2
    		2
    ．

    （3）如图d：首先过点B作BB′⊥AC于O，且OB=OB′，
    连接DB′并延长交AC于P．
    （由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠APD）．
    点评：此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
    如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
    作法如下：如（1）图，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AP的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
    （1）观察发现
    再如（2）图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
    作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为
     
    ．
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    （2）实践运用
    如（3）图，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．
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    （3）拓展迁移
    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    ①求这条抛物线所对应的函数关系式；
    ②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
    如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
    做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
    （1）观察发现
    再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
    作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为
    2
    		3
    2
    		3
    ．
    （2）实践运用
    如图3，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．
    （3）拓展迁移
    如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    ①求这条抛物线所对应的函数关系式；
    ②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）观察发现：
    如图1，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．
    做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P
    再如图2，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
    做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为
     
    ．
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    （2）实践运用
    如图3，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，求PM+PN的最小值．精英家教网
    （3）拓展延伸
    如图4，在四边形ABCD的对角线AC上找一点F，使∠AFB=∠AFD．保留作图痕迹，不必写出作法．

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    科目：初中数学 来源：2011-2012学年江苏省无锡市华庄中学九年级（上）期末数学模拟试卷（解析版） 题型：解答题

    唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题：
    如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？
    做法如下：如图1，从B出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取B关于河岸的对称点B′，连接AB′，与河岸线相交于P，则P点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到P，饮马之后，再由P沿直线走到B，所走的路程就是最短的．
    （1）观察发现
    再如图2，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短．
    作点B关于EF的对称点，恰好与点C重合，连接AC交EF于一点，则这点就是所求的点P，故BP+AP的最小值为______

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