(2013•工业园区二模)已知.如图1.矩形ABCD中.AD=6.DC=8.矩形EFGH的三个顶点E.G.H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB.CD.DA上.AH=2.连接CF．(1)如图1.当四边形EFGH为正方形时.求AE的长和△FCG的面积,(2)如图2.设AE=x.△FCG的面积=S1.求S1与x之间的函数关系式与S1的最大值,的条件下.如果� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2013•工业园区二模）已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．
（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求AE的长和△FCG的面积；
（2）如图2，设AE=x，△FCG的面积=S₁，求S₁与x之间的函数关系式与S₁的最大值；
（3）在（2）的条件下，如果矩形EFGH的顶点F始终在矩形ABCD内部，连接BF，记△BEF的面积为S₂，△BCF的面积为S₃，试说明6S₁+3S₂-2S₃是常数．

分析：（1）过点F作FM⊥CD于M，利用AAS证明△AEH≌△DHG≌△MGF，根据全等三角形的对应边相等得出AE=DH=6-2=4，DG=AH=FM=2，再根据三角形的面积公式即可求出△FCG的面积；
（2）过点F作FM⊥CD于M．根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEH∽△DHG，由相似三角形的对应边成比例得到

，则DG=

，CG=8-

，再根据三角形的面积公式得到△FCG的面积=S₁=8-

，结合自变量x的取值范围，即可求出S₁的最大值；
（3）类似上题求得S₁=8-

，S₂=16-2x，S₃=24-3x-

，将它们代入6S₁+3S₂-2S₃，计算即可求出其值．

解答：解：（1）过点F作FM⊥CD于M．
∵四边形EFGH为正方形，四边形ABCD是矩形，
∴HE=GH=FG，∠EHG=∠HGF=90°，∠A=∠D=90°，
∴∠AEH=∠DHG=90°-∠AHE，∠DHG=∠MGF=90°-∠HGD，
∴∠AEH=∠DHG=∠MGF．
在△AEH、△DHG与△MGF中，

∠A=∠D=∠GMF=90°

∠AEH=∠DHG=∠MGF

HE=GH=FG

，
∴△AEH≌△DHG≌△MGF（AAS），
∴AE=DH=6-2=4，DG=AH=FM=2，
∴△FCG的面积=

•CG•FM=

×6×2=6；

（2）

过点F作FM⊥CD于M．
在△AEH与△DHG中，
∵∠A=∠D=90°，∠AEH=∠DHG=90°-∠AHE，
∴△AEH∽△DHG，
∴

，即

，
∴DG=

，
∴CG=DC-DG=8-

，
∵FM=2，
∴△FCG的面积=S₁=

•CG•FM=

（8-

）×2=8-

，
∵0＜x≤8，
∴当x=8时，S₁的最大值为7；

（3）由（2）可得S₁=

（8-

）×2=8-

．
过

点F作FN⊥AB于N，易证△NFE≌△DHG，
∴FN=HD=4，EN=GD=

，
∵BE=AB-AE=8-x，
∴S₂=

•BE•FN=

（8-x）×4=16-2x；
过点F作FP⊥BC于P，则四边形FNBP是矩形，
∴FP=BN=AB-AE-EN=8-x-

，
∴S₃=

•FP•BC=

（8-x-

）×6=24-3x-

，
∴6S₁+3S₂-2S₃
=6（8-

）+3（16-2x）-2（24-3x-

）
=48-

+48-6x-48+6x+

=48．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形的面积，代数式的变形与计算能力，综合性较强，难度适中．通过证明三角形全等与相似得到边之间的对应关系是解题的关键．

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