Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=12m，M是劣弧AC的中点，弦AC与BM交于点D，∠ABC=2∠A，
（1）求证：AD=BD；
（2）求AD、DC的长．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理知∠C=90°，再根据已知条件∠ABC=2∠A，在直角三角形ABC中求得，∠A=30°，又有等弧所对的圆周角相等知∠ABD=∠CBD=30°，最后根据等边对等角证明AD=BD；
（2）利用（1）的结论，在直角三角形ABC中根据锐角三角函数求得AC=6

3

m；再在直角三角形在直角三角形ABC中，由锐角三角函数求得AC与AD、CD间的数量关系．

解答：解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°（直径所对的圆周角是直角）；
∵∠ABC=2∠A，∠ABC+∠A=90°，
∴∠ABC=60°，∠A=30°；
∵M是劣弧AC的中点，
∴∠ABD=∠CBD=30°（等弧所对的圆周角相等），
∴AD=BD（等边对等角）；

（2）在直角三角形ABC中，AB=12m，∠A=30°，
∴AC=AB•cos30°，
∴AC=6

3

m；
在直角三角形在直角三角形ABC中，BCD中，∠CBD=30°，
∴BD=2CD，
∵∠A=∠ABD
∴AD=BD，
∴AD=2CD；
∴CD=

1

3

AC=2

3

m，
AD=

2

3

AC=4

3

m．

点评：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解答此题的关键是根据圆周角的定理（直径所对的圆周角是直角）求得∠C=90°，从而证明三角形ABC是直角三角形．