Question

【题目】如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不与B、C两点重合），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上取一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接AM、AN．

（1）若P为BC的中点，则sin∠CPM=________；

（2）求证：∠PAN的度数不变；

（3）当P在BC边上运动时，△ADM的面积是否存在最小值，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在最小值，BP＝2.

【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质和勾股定理求出AP，根据正弦的定义得到sin∠BAP＝，根据折叠的性质证明∠CPM＝∠BAP，得到答案；

（2）证明Rt△AEN≌Rt△ADN，得到∠EAN＝∠DAN，计算即可；

（3）设PB＝x，根据相似三角形的性质求出DM，根据三角形的面积公式得到二次函数的解析式，然后将解析式转化为顶点式，即可得出答案．

试题解析：

解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，P为BC的中点，

∴BP＝ PC＝2，

∴AP＝＝2，

∴sin∠BAP＝，

由折叠的性质可知，∠BPA＝∠EPA，∠CPM＝∠FPM，

∴∠APM＝（∠BPE＋∠CPF）＝90°，

∴∠BPA＋∠CPM＝90°，又∠BPA＋∠BAP＝90°，

∴∠CPM＝∠BAP，

∴sin∠CPM＝sin∠BAP＝，

故答案为： ；

（2）解：由折叠的性质可知，∠AEP＝∠B＝90°，AE＝AB，∠BAP＝∠EAP，

∴AE＝AD，

在Rt△AEN和Rt△ADN中，

AE＝AD，AN＝AN，

∴Rt△AEN≌Rt△ADN，

∴∠EAN＝∠DAN，

∴∠PAN＝∠BAD＝45°；

（3）解：设PB＝x，则PC＝4﹣x，

∵∠CPM＝∠BAP，∠ABP＝∠PCM＝90°，

∴△ABP∽△PCM，

∴，即，

解得，CM＝﹣x2＋x，

∴DM＝4﹣（﹣x2＋x）＝ x2﹣x＋4，

∴△ADM的面积＝×4×（x2﹣x＋4）＝（x﹣2）2＋6，

∴当BP＝2时，△ADM的面积存在最小值6．