已知a为实常数,关于x的方程(a2-2a)x2+(4-6a)x+8=0的解都是整数.求a的值.
分析:此题可考虑分2种情况讨论:(1)当a
2-2a=0,可先解出a的值,再把a的值代入方程求解x;(2)当a
2-2a≠0时,用因式分解可求x
1=
,x
2=
,从x
1=
中可求a=
,代入x
2中,易得x
1•x
2+2x
1-x
2=0,变形可得(x
1-1)(x
2+2)=-2=2×(-1)=(-2)×1=1×(-2)=-1×2,由于x
1和x
2是整数,那么x
1-1和x
2+2也是整数,于是可得关于x
1、x
2的方程组,解即可求x
1、x
2(都等于0的情况舍去),进而可求a,联合(1)(2)可最终求出a的值.
解答:解:(1)当a
2-2a=0,即a=2或a=0时有
A、a=2时,x=-2满足要求;
B、a=0时,x=1也满足要求;
(2)当a
2-2a≠0时,
(ax-2)[(a-2)x-4]=0,
解得x
1=
,x
2=
,
∴a=
,
∴x
2=
,
∴x
1•x
2+2x
1-x
2=0,
∴(x
1-1)(x
2+2)=-2=2×(-1)=(-2)×1=1×(-2)=-1×2,
∵x
1和x
2是整数,
∴x
1-1和x
2+2也是整数,
∴
或
或
或
,
解得
或
或
或
(此情况舍去),
∴a=
;-2;1.
综合(1)(2)知a=0;1;±2;
.
点评:本题考查了一元二次方程的整数根.解题的关键是要分2种情况讨论.有一定的难度.