Question

如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是BC、DC上的动点，且BE=DF．某小组的同学观察图形得出五个结论：①AE=AF；②∠CEF=∠CFE；③△AEF≌△CEF；④当点E、F分别是边BC、DC中点时，△AEF是等边三角形；⑤当点E在边BC上且点F在边DC上，且满足BE=DF时，△AEF的面积为定值．其中，真命题是

 

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析：根据菱形的性质可证明△ABE≌△ADF，则AE=AF；CE=CF，∠CEF=∠CFE，当点E，F分别为边BC，DC的中点时，BE=

1

2

AB，DF=

1

2

AD，无法求出∠EAF的度数，再由△AEF的面积=菱形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△CEF的面积，即可得出△AEF的面积是BE的二次函数，即可求出，△AEF的面积最大．

解答：解：∵点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动，
∴BE=DF，
∵AB=AD，∠B=∠D，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，①正确；
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，②正确；③错误；
当点E，F分别为边BC，DC的中点时，BE=

1

2

AB，DF=

1

2

AD，
无法得出∠EAF的度数，④错误；
∵△AEF的面积=菱形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△CEF的面积，
=

3

2

AB²-

1

2

BE•AB×

3

2

×2-

1

2

×

3

2

×（AB-BE）²，
=-

3

4

BE²+

3

4

AB²，
∴△AEF的面积是BE的二次函数，
∴当BE=0时，△AEF的面积最大，⑤错误．
故正确的序号有①②．

点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定，是中考压轴题，难度较大．