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    （2013•湖州）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=
    4
    5
    ，反比例函数y=
    k
    x
    （k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．
    （1）若OA=10，求反比例函数解析式；
    （2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；
    （3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）先过点A作AH⊥OB，根据sin∠AOB=
    4
    5
    ，OA=10，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；
    （2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=
    4
    5
    ，得出AH=
    4
    5
    a，OH=
    3
    5
    a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6，
    根据BF=
    1
    2
    a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=
    1
    2
    BM•FM，S△FOM=6+
    3
    50
    a2，再根据点A，F都在y=
    k
    x
    的图象上，S△AOH=
    1
    2
    k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=3
    		3
    ，即可求出点C的坐标；
    （3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．
    解答：解：（1）过点A作AH⊥OB于H，
    ∵sin∠AOB=
    4
    5
    ，OA=10，
    ∴AH=8，OH=6，
    ∴A点坐标为（6，8），根据题意得：
    8=
    k
    6
    ，可得：k=48，
    ∴反比例函数解析式：y=
    48
    x
    （x＞0）；

    （2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，
    ∵sin∠AOB=
    4
    5
    ，
    ∴AH=
    4
    5
    a，OH=
    3
    5
    a，
    ∴S△AOH=
    1
    2
    •
    4
    5
    a•
    3
    5
    a=
    6
    25
    a2，
    ∵S△AOF=12，
    ∴S平行四边形AOBC=24，
    ∵F为BC的中点，
    ∴S△OBF=6，
    ∵BF=
    1
    2
    a，∠FBM=∠AOB，
    ∴FM=
    2
    5
    a，BM=
    3
    10
    a，
    ∴S△BMF=
    1
    2
    BM•FM=
    1
    2
    •
    2
    5
    a•
    3
    10
    a=
    3
    50
    a2，
    ∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+
    3
    50
    a2，
    ∵点A，F都在y=
    k
    x
    的图象上，
    ∴S△AOH=
    1
    2
    k，
    ∴
    6
    25
    a2=6+
    3
    50
    a2，
    ∴a=
    10
    3
    		3
    ，
    ∴OA=
    10
    3
    		3
    ，
    ∴AH=
    8
    3
    		3
    ，OH=2
    		3
    ，
    ∵S平行四边形AOBC=OB•AH=24，
    ∴OB=AC=3
    		3
    ，
    ∴C（5
    		3
    ，
    8
    3
    		3
    ）；

    （3）存在三种情况：
    当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（
    8
    3
    		3
    ，
    4
    3
    		3
    ），P2（-
    2
    3
    		3
    ，
    4
    3
    		3
    ），
    当∠PAO=90°时，P3（
    34
    9
    		3
    ，
    4
    3
    		3
    ），
    当∠POA=90°时，P4（-
    16
    9
    		3
    ，
    4
    3
    		3
    ）．
    点评：此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，要注意（3）有三种情况，不要漏解．
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    5
    13
    5
    13
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