Question

（2007•西城区一模）如图，在直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴上，且OC=

4 3

3

，tan∠OAC=

3

3

，将△OAC沿AC翻折使点O落在坐标平面内的B点处．
（1）求B点的坐标；
（2）二次函数y=ax²+bx+c的图象经过O、B、A三点，求这个二次函数的解析式；
（3）在（2）中的二次函数图象上是否存在一点P，使以P、A、B、O为顶点的四边形为梯形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由tan∠OAC=

3

3

，OC=

4 3

3

，即可得∠OAC=30°，OA=4，又由将△OAC沿AC翻折使点O落在坐标平面内的B点处，根据折叠的性质，易得△OAB是等边三角形，即可求得点B的坐标；
（2）利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式；
（3）由B为抛物线顶点，可得OA不可能为梯形的底，然后分别从①当OB∥P₁A时与②当OP₂∥BA时去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵tan∠OAC=

3

3

，
∴∠OAC=30°
∵OC=

4 3

3

，
∴OA=

OC

tan∠OAC

=4，
由△OAC沿AC翻折知，OB⊥AC，
∴∠BOA=60°，∠OAB=2∠OAC=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB=OA=4，
∵x_B=OB•cos∠BOA=2，y_B=OB•sin∠BOA=2

3

，
∴B（2，2

3

）；

（2）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过O、B、A三点，
∴设其为y=ax²+bx，
∵A（4，0），B（2，2

3

），
将其代入，得

16a+4b=0 4a+2b=2 3

，
解得

a=- 3 2 b=2 3

，
∴y=-

3

2

x²+2

3

x；

（3）若存在点P使四边形PABO为梯形，
∵B为抛物线顶点，
∴OA不可能为梯形的底，
①当OB∥P₁A时，有∠OAD=60°，
设AP₁交y轴于点D，
∵OA=4，
∴D（0，-4

3

）
设过A、D的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

4k+b=0 0k+b=-4 3

，
解得：

k= 3 b=-4 3

，
∴直线AD的解析式为：y=

3

x-4

3

，
∵P₁是二次函数图象与直线AD的交点，
∴

y= 3 x-4 3 y=- 3 2 x2+2 3 x

，
解得：

x1=4 y1=0

或

x2=-2 y2=-6 3

，
∵A（4，0），
∴P₁（-2，-6

3

）；
过P₁作PM⊥x轴于M点，则线段P₁M=6

3

，
∴线段P₁A=12，OB=4，
在四边形P₁ABO中，BO∥AP₁，且BO≠AP₁，
∴四边形P₁ABO是梯形；
②当OP₂∥BA时，
∵直线AB的解析式为：y=-

3

x+4

3

，
∴直线OP₂的解析式为：y=-

3

x，
∴

y=- 3 x y=- 3 2 x2+2 3 x

，
解得：

x=0 y=0

或

x=6 y=-6 3

，
∵O（0，0），
∴P₂（6，-6

3

），
∴OP₂=

OA2+OP22

=12，
∵AB=4，
∴四边形P₂ABO是梯形．
综上：P₁（-2，-6

3

），P₂（6，-6

3

）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、等边三角形的判定与性质、梯形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．