Question

【题目】如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．

如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是半高三角形，此时，称△ABC是BC类半高三角形；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF类半高三角形．

（1）直接写出下列3个小题的答案．

①若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，则其底角度数的所有可能值为　 ．

②若一个三角形既是直角三角形又是半高三角形，则其最小角的正切值为　 ．

③如图3，正方形网格中，L，M是已知的两个格点，若格点N使得△LMN为半高三角形，且△LMN为等腰三角形或直角三角形，则这样的格点N共有　 个．

（2）如图，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点T坐标为（0，5），点P是抛物线y＝x2上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为RS类半高三角形．

①当点P介于点R与点S之间（包括点R，S），且PQ取得最小值时，求点P的坐标．

②当点P介于点R与点O之间（包括点R，O）时，求PQ+QT的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①45°、15°、75°；②1或；③7； （2）①点P′（，），此时，P（P′）Q取得最小值；②当点P与点R重合，且P、Q、H在一条直线且与直线HT垂直时，PQ+QT有最小值，最小值为4．

【解析】

（1）①②分底边上的高等于底边的一半、腰上的高等于腰长的一半两种情况分别求解即可；③如图3，这样的格点N共有7个；

（2）①如图4，当点P介于点R与点S之间时，与RS平行且与抛物线只有一个交点P′时，PQ取得最小值，即可求解；②当点P与点R重合，且P、Q、H在一条直线且与直线HT垂直时，PQ+QT有最小值，即可求解．

（1）①当底边上的高等于底边的一半时，

如下图△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD＝BC，

则AD＝CD，则∠B＝∠C＝45°；

当腰上的高等于腰长的一半时，

同理底角为75°或15°，

故：答案为45°、15°、75°；

②当底边上的高等于底边的一半时，如上图，△ABC为等腰直角三角形，

故最小角为45°，最小角的正切值为1；

腰上的高等于腰长的一半时，同理可得：最小角的正切值为，

故答案为1或；

③如图3，这样的格点N共有7个，具体情况见下图，小黑点所示的位置，

（2）将抛物线与直线方程联立并解得：x＝﹣1或2，

即：点R、S的坐标分别为（﹣1，1）、（2，4），则RS＝，

则RS边上的高为，

则点Q在于RS平行的上下两条直线上，如下图，

过点Q作QH⊥NH交于点H，则HQ＝，则QN＝＝3，

点N（0，2），则点M（5，0），点M于点T重合，

则点Q的直线方程为：y＝x+5，

当该直线在直线RS的下方时，y＝x﹣1，

故点Q所在的直线方程为：y＝x+5或y＝x﹣1；

①如图4，当点P介于点R与点S之间时，

设与RS平行且与抛物线只有一个交点P′的直线方程为：y＝x+d，

将该方程于抛物线方程联立并整理得：x2﹣x﹣d＝0，

△＝1+4d＝0，解得：d＝﹣，

此时，x2﹣x+＝0，解得：x＝，

点P′（，），此时，P（P′）Q取得最小值；

②当点P介于点R与点O之间（包括点R，O）时，

如图4，连接PQ，过点Q作QH垂直过点T于x轴平行的直线于点H，

则HQ＝QT，

PQ+QT＝PQ+QH，

当点P与点R重合，且P、Q、H在一条直线且与直线HT垂直时，PQ+QT有最小值，

则其最小值为yT﹣yR＝5﹣1＝4．