Question

25、如图，在⊙O中，CD是弦AB上的二点，AC=BD，∠FCD=∠HDC，求证：EF=GH．

Answer 1

分析：连接OE，OF，OG，OH；作OM垂直与AB，交AB与点M；根据题意易得OC=OD，进而可得△OCF≌△ODH；由此可得∠OFE=∠OHG，又可得△OEF≌△OGH；根据全等三角形的性质，可得EF=GH．

解答：证明：连接OE，OF，OG，OH；作OM垂直与AB，交AB与点M；
根据垂径定理可得：MA=MB，又有AC=BD，故MC=MD；进而可得OC=OD；
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠OCF=∠ODH．
又∵OC=OD，OF=OH，
∴△OCF≌△ODH．
∴∠OFE=∠OHG，
又∵OF=OH，OE=OG，
∴△OEF≌△OGH．
故有EF=GH．

点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．