解:(1)直线
中,令y=0,则x=4;令x=0,则y=-2;
故B(4,0),C(0,-2);
由于抛物线经过点C(0,-2),故c=-2;
将B点坐标代入y=
x
2-bx-2中,得:b=-
;
∴抛物线的解析式为
.
(2)根据(1)中的函数解析式可知A(-1,0),B(4,0),C(0,-2);
则AB=5,AC=
,BC=2
;
故AC
2+BC
2=5+20=25=AB
2,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.
(3)分两种情况考虑:
①如图①所示,矩形DEFG中D、E在AB边上;
设DG=EF=m;
由于FG∥x轴,则△CGF∽△CAB,
,
解得FG=5-
m;
故矩形的面积S=DG•FG=(5-
m)m=-
m
2+5m,
即S=-
(m-1)
2+
,
故m=1时,矩形的面积最大为2.5;
此时D(-
,0),E(2,0),G(-
,-1),F(2,-1);
②如图②所示,矩形DEFG中,F、C重合,D在AB边上;
设DE=CG=n,同①可得:
即DG=2
-2n;
故矩形的面积S=DE•DG=(2
-2n)n=-2(n-
)
2+
;
即当n=
时,矩形的最大面积为2.5;
此时BD=5×
=
,OD=OB-BD=
,
即D(
,0);
综上所述,矩形的最大面积为2.5,此时矩形在AB边上的顶点坐标为(-
,0),(2,0)或(
,0).
分析:(1)根据直线BC的解析式,可确定B、C的坐标,代入抛物线的解析式中,即可确定待定系数的值.
(2)由(1)得到的抛物线解析式,可求得A点的坐标,进而可得到AB、AC、BC的长,然后根据这三边的长,来判断△ABC的形状.
(3)此题应分两种情况考虑:
①矩形有两个顶点在AB边上(设这两点为D、E),首先设出DG的长为m,利用相似三角形△CFG∽△CBA得到的比例线段,可求得GF的表达式,进而可根据矩形的面积公式求出关于矩形的面积和m的函数关系式,根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的m值,从而确定出矩形的四顶点的坐标;
②矩形有一个顶点在AB边上(设为D),此时C、F重合,方法同①,首先设DE=n,由△ADG∽△ABC求出DG的长,进而根据矩形的面积公式得到关于矩形的面积和n的函数关系式,从而根据函数的性质求得矩形的最大面积和对应的n值,进而确定矩形的四个顶点坐标.
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、矩形面积的计算方法、二次函数最值的应用等知识,要注意(3)题中,矩形的摆放方法有两种,不要漏解.