Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，AB与⊙O相切于点F，直线AO交⊙O于点E，D．

（1）求证：AO是△ABC的角平分线；

（2）若tan∠D＝，求的值；

（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，⊙O的半径为3，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）连接OF，可得OF⊥AB，由∠ACB＝90°，OC＝OF，可得出结论；

（2）连接CE，先求证∠ACE＝∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以，结合tan∠D＝＝，即可得到结论；

（3）连接CF交AD于点M，由（2）可知，AC2＝AEAD，先求出AE，AC的长，则AO可求出，证△CMO∽△ACO，可得OC2＝OMOA，求出OM，CM，结合CF＝2CM，即可求解．

（1）如图1，连接OF，

∵AB与⊙O相切于点F，

∴OF⊥AB，

∵∠ACB＝90°，OC＝OF，

∴AO是△ABC的角平分线；

（2）如图2，连接CE，

∵ED是⊙O的直径，

∴∠ECD＝90°，

∴∠ECO+∠OCD＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE+∠ECO＝90°，

∴∠ACE＝∠OCD，

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∴∠ACE＝∠ODC，

∵∠CAE＝∠CAE，

∴△ACE∽△ADC，

∴，

∵tan∠D＝，

∴＝，

∴＝；

（3）由（2）可知：＝，

∴设AE＝x，AC＝2x，

∵△ACE∽△ADC，

∴，

∴AC2＝AEAD，

∴（2x）2＝x（x+6），

解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），

∴AE＝2，AC＝4，

∴AO＝AE+OE＝2+3＝5，

如图3，连接CF交AD于点M，

∵AC，AF是⊙O的切线，

∴AC＝AF，∠CAO＝∠OAF，

∴CF⊥AO，

∴∠ACO＝∠CMO＝90°，

∵∠COM＝∠AOC，

∴△CMO∽△ACO，

∴，

∴OC2＝OMOA，

∴OM＝，

∴CM＝，

∴CF＝2CM＝．