Question

【题目】如图，ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD，交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．

（1）求证：PD//AB；

（2）求证：DE=BF；

（3）若AC=6，tan∠CAB=，求线段PC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连结OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；
（2）利用角的关系得出∠FBD=∠EDA，进而得出△FBD≌△EDA，即可得出DE=BF；
（3）在Rt△ACB中，利用AC=6，tan∠CAB=，可得BC=8，再利用勾股定理得出AB=10，由△DAB为等腰直角三角形，可得AD=5，由AE⊥CD，得出△ACE为等腰直角三角形，得出AE=CE=3，在Rt△AED中，可得DE=4，得出CD=7，由角的关系得出△PDA∽△PCD，利用比例式可得出PA=PD，PC=PD，由PC=PA+AC，可求得PD=，即可得出PC的值．

证明：（1）连结，如图，

∵为的直径，∴，

∵的平分线交于点，

∴，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∵为的切线，∴，∴．

（2）∵于点，于点，

∴，∴，

∴为等腰直角三角形，∴，

∵，∴，

在和中，，

∴，

∴．

（3）在，∵，，

∴，∴，

∵为等腰直角三角形，∴，

∵，

∴为等腰直角三角形，∴，

在中，，

∴，

∵，∴，∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，，

又∵，

∴，解得，

∴．