Question

如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的D′GD 部分为一段抛物线，顶点G 的高度为8米，AD 和AD′是两侧高为5.5米的立柱，OA 和OA′为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和CD′为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4．（1）求桥拱DGD′所在抛物线的解析式及CC′的长．（2）BE 和B′E′为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A′B′为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A′B′的宽．（3）按规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不可小于0.4米，今有一大型运货汽车，装载上大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离为7米，它能否从OA（OA′）安全通过？请说明理由．

Answer 1

【分析】欲求函数的解析式，关键是求出三个独立的点的坐标，然后由待定系数法求之．所以关键是由题中线段的长度计算出D、G、D′的坐标，当然也可由对称轴x＝0解之．

至于求CC′、AB、A′B′的数值，则关键是由坡度的定义求解之；到底能否安全通过，则只需在抛物线的解析式中令x＝4，求出相应的y 值，即可作出明确的判断．

【解】（1）由题意和抛物线的对称轴是x＝0，可设抛物线的解析式为y＝ax²＋c．

由题意得G（0，8），D（15，5.5）

∴ 

∴ 

∴  y＝＋8．

又  ＝且AD＝5.5，

∴  AC＝5.5×4＝22（米）．

∴  CC′＝2C＝2×（OA＋AC）＝2×（15＋22）＝74（米）．

∴  CC′的长是74米．

（2）∵  ＝，BE＝4，

∴  BC＝16．

∴  AB＝AC－BC＝22－16＝6（米）．

A′B′＝AB＝6（米）．

（3）此大型货车可以从OA（OA′）区域安全通过．

在y＝＋8中，当x＝4时，y＝－×16＋8＝，而

－（7＋0.4）＝＞0，

∴  可以从OA 区域安全通过．