Question

如图所示，正方形ABCD中，E为AB中点，F为AD中点，DE、CF交于O点，求证：DE⊥CF．

Answer 1

分析：要证明DE⊥CF，证明∠DOF为直角，即证明∠DFO+∠FDO=90°即可；要求证∠FDO=∠DCF，求证△DCF≌△ADE即可．

解答：证明：在△DCF和△ADF中，

DC=AD DF=AE ∠CDF=∠DAE

，
∴△DCF≌△ADF（SAS），
∴∠FDO=∠DCF，
∵∠DCF+∠DFO=90°，
∴∠FDO+∠DFO=90°，
∠DOF=180°-∠FDO-∠DFO=90°，
∴DE⊥CF．

点评：本题考查了正方形各边相等、各内角为90°的性质，考查了全等三角形的判定和对应角相等的性质，本题中求证∠FDO+∠DFO=90°是解题的关键．