Question

如图所示，⊙O₁与⊙O₂相交于A，B两点，且直线O₁O₂交AB于C，说明AC=BC，AB⊥O₁O₂．

Answer 1

分析：显然可以证明△AO₁O₂≌△BO₁O₂，进而可得AC=BC，再根据∠ACO₁=∠BCO₁，可得出AB⊥O₁O₂．

解答：证明：（方法一）
连接O₁A，O₁B，O₂A，O₂B．
∵在△AO₁O₂和△BO₁O₂中，
由

O1A=O1B O2A=O2B O1O2=O1O2

，
∴△AO₁O₂≌△BO₁O₂，
∴∠AO₁O₂=∠BO₁O₂；
又O₁A=O₁B，
∴△O₁AC≌△O₁BC．
∴AC=BC．
∴∠ACO₁=∠BCO₁．
∴AB⊥O₁O₂．

（方法二）
∵O₁A=O₁B，
∴O₁在线段AB的垂直平分线上，
∵O₂A=O₂B，
∴O₂在线段AB的垂直平分线上，
又经过两点有且只有一条直线，
∴O₁O₂是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴AB⊥O₁O₂．

点评：本题考查圆与圆相交时两圆的位置关系及圆心距、公共弦与两圆半径间的关系，解答此类题关键是通过图形找到等量关系．