Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= -x²+x+m²-3m+2x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。

   (1) 求点B的坐标；

   (2) 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运 时，C点、D点也随之运动)

      j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；

      k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一

         点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止

         运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF

         到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q

         点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分

         别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。

 

Answer 1

解：(1) ∵拋物线y= -x²+x+m²-3m+2经过原点，∴m²-3m+2=0，解得m₁=1，m₂=2，

          由题意知m¹1，∴m=2，∴拋物线的解析式为y= -x²+x，∵点B(2，n)在拋物线

          y= -x²+x上，∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。

    (2) j 设直线OB的解析式为y=k₁x，求得直线OB的解析式为

          y=2x，∵A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的

          坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为

          (a，2a)，根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求

          得点C的坐标为(3a，2a)，由C点在拋物线上，得

          2a= -´(3a)²+´3a，即a²-a=0，解得a₁=，a₂=0

          (舍去)，∴OP=。

       k 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k₂x+b，由点A(10，0)，

          点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y= -x+5，当P点运动到t秒时，两个等腰

          直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：

          第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三

              角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。∴PQ=DP=4t，

              ∴t+4t+2t=10，∴t=。

          第二种情况：PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM为等腰直角三

              角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10-2t，∵F点在

              直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，∴t+2t+2t=10，∴t=2。

          第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示。此时OP、

              AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t+2t=10，∴t=。综上，符合题意的

              t值分别为，2， 。